Basic Quantum Gates¶

Basic quantum gates implement the standard single-qubit and multi-qubit quantum gate operations.

Overview ¶

Basic quantum gates overview¶
Operator	Operation	Unitarity class
`X_Bool`	Pauli-X (bit flip)	SelfAdjoint
`Y_Bool`	Pauli-Y	SelfAdjoint
`Z_Bool`	Pauli-Z (phase flip)	SelfAdjoint
`S_Bool`	S gate (π/2 phase)	SelfAdjoint
`T_Bool`	T gate (π/4 phase)	SelfAdjoint
`Phase_Bool`	Arbitrary phase e^{iλ}	BaseOperator
`RX_Bool`	Rotation about the X axis	SelfAdjoint
`RY_Bool`	Rotation about the Y axis	SelfAdjoint
`RZ_Bool`	Rotation about the Z axis	SelfAdjoint
`SX_Bool`	√X gate	SelfAdjoint
`U2_Bool`	General single-qubit gate (2 parameters)	BaseOperator
`U3_Bool`	General single-qubit gate (3 parameters)	BaseOperator

Universal Gates ¶

U2_Bool (2-parameter universal gate)¶

Matrix:

\[\begin{split}U_2(\phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -e^{i\lambda} \\ e^{i\phi} & e^{i(\phi+\lambda)} \end{pmatrix}\end{split}\]

U3_Bool (3-parameter universal gate)¶

Matrix:

\[\begin{split}U_3(\theta, \phi, \lambda) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -e^{i\lambda}\sin\frac{\theta}{2} \\ e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2} & e^{i(\phi+\lambda)}\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\end{split}\]

import numpy as np

op = ps.U3_Bool("q", np.pi/4, np.pi/2, 0)
op(state)

# Undo
op.dag(state)

—

Other Gates ¶

Rot_Bool (general rotation)¶

Operation: Apply an arbitrary 2×2 unitary matrix

import numpy as np

# Define a 2x2 matrix
matrix = np.array([
    [np.cos(np.pi/4), -np.sin(np.pi/4)],
    [np.sin(np.pi/4), np.cos(np.pi/4)]
])

ps.Rot_Bool("q", matrix)(state)

Reflection_Bool (reflection gate)¶

Operation: Reflection operation (the diffusion operator in Grover’s algorithm)

中文版 ===

基本量子门¶

基本量子门实现单量子比特和多量子比特的标准量子门操作。

概述 ¶

基本量子门总览¶
算子	操作	幺正类
`X_Bool`	Pauli-X（比特翻转）	SelfAdjoint
`Y_Bool`	Pauli-Y	SelfAdjoint
`Z_Bool`	Pauli-Z（相位翻转）	SelfAdjoint
`S_Bool`	S 门（π/2 相位）	SelfAdjoint
`T_Bool`	T 门（π/4 相位）	SelfAdjoint
`Phase_Bool`	任意相位 e^{iλ}	BaseOperator
`RX_Bool`	X 轴旋转	SelfAdjoint
`RY_Bool`	Y 轴旋转	SelfAdjoint
`RZ_Bool`	Z 轴旋转	SelfAdjoint
`SX_Bool`	√X 门	SelfAdjoint
`U2_Bool`	通用单量子比特门（2 参数）	BaseOperator
`U3_Bool`	通用单量子比特门（3 参数）	BaseOperator

类型约束 ¶

所有量子门要求：

寄存器类型：``Boolean``（单量子比特门）
位索引：必须在寄存器大小范围内 [0, size)

# 正确：Boolean 类型用于单量子比特门
ps.System.add_register("qubit", ps.Boolean, 1)
ps.X_Bool("qubit", 0)(state)

# 错误：位索引超出范围
# ps.X_Bool("qubit", 1)(state)  # 抛出异常！

—

Pauli 门 ¶

X_Bool（Pauli-X / NOT）¶

操作: 比特翻转 |0⟩ ↔ |1⟩

矩阵:

\[\begin{split}X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

import pysparq as ps

ps.System.clear()
ps.System.add_register("q", ps.Boolean, 1)

state = ps.SparseState()
# 初始 |q=0⟩

ps.X_Bool("q", 0)(state)
# |q=1⟩

# 再次应用恢复原状态（自伴）
ps.X_Bool("q", 0)(state)
# |q=0⟩

Y_Bool（Pauli-Y）¶

矩阵:

\[\begin{split}Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.Y_Bool("q", 0)(state)

Z_Bool（Pauli-Z）¶

操作: 相位翻转 |1⟩ → -|1⟩

矩阵:

\[\begin{split}Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.Z_Bool("q", 0)(state)

—

相位门 ¶

S_Bool（S 门）¶

操作: 相位旋转 π/2

矩阵:

\[\begin{split}S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.S_Bool("q", 0)(state)

T_Bool（T 门）¶

操作: 相位旋转 π/4

矩阵:

\[\begin{split}T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.T_Bool("q", 0)(state)

Phase_Bool（任意相位）¶

操作: 相位旋转 e^{iλ}

Dagger: 相位旋转 e^{-iλ}

# 相位旋转 π/3
op = ps.Phase_Bool("q", 0, np.pi / 3)
op(state)

# 撤销
op.dag(state)

—

旋转门 ¶

RX_Bool（X 轴旋转）¶

矩阵:

\[\begin{split}R_X(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \\ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\end{split}\]

import numpy as np

# X 轴旋转 π/2
ps.RX_Bool("q", np.pi / 2)(state)

RY_Bool（Y 轴旋转）¶

矩阵:

\[\begin{split}R_Y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.RY_Bool("q", np.pi / 2)(state)

RZ_Bool（Z 轴旋转）¶

矩阵:

\[\begin{split}R_Z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}\end{split}\]

ps.RZ_Bool("q", np.pi / 2)(state)

SX_Bool（√X 门）¶

操作: X^{1/2}

ps.SX_Bool("q", 0)(state)

—

import numpy as np

op = ps.U3_Bool("q", np.pi/4, np.pi/2, 0)
op(state)

# 撤销
op.dag(state)

—

其他门 ¶

Rot_Bool（通用旋转）¶

操作: 应用任意 2×2 幺正矩阵

import numpy as np

# 定义 2x2 矩阵
matrix = np.array([
    [np.cos(np.pi/4), -np.sin(np.pi/4)],
    [np.sin(np.pi/4), np.cos(np.pi/4)]
])

ps.Rot_Bool("q", matrix)(state)

Reflection_Bool（反射门）¶

操作: 反射操作（Grover 算法中的扩散算子）