Hadamard 操作¶

Hadamard 算子在寄存器上创建量子叠加态，是量子算法的基础操作。

概述 ¶

Hadamard 算子总览¶
算子	操作	类型约束	幺正类
`Hadamard_Int`	整数寄存器 Hadamard	整数类型	SelfAdjoint
`Hadamard_Int_Full`	完整 Hadamard（所有输出状态）	整数类型	SelfAdjoint
`Hadamard_Bool`	单量子比特 Hadamard	Boolean（size=1）	SelfAdjoint
`Hadamard_PartialQubit`	部分量子比特 Hadamard	整数类型	SelfAdjoint

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Hadamard_Int ¶

操作: 对整数寄存器的指定量子比特应用 Hadamard

数学定义:

\[H|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \quad \text{for each qubit}\]

类型约束: UnsignedInteger 或 SignedInteger

import pysparq as ps

ps.System.clear()

# 4 比特寄存器
ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, 4)

state = ps.SparseState()
print("初始状态:")
ps.pprint(state)
# [1 basis state]
# |q=0⟩ : (1+0j)

# 对前 2 比特应用 Hadamard
ps.Hadamard_Int("q", 2)(state)

print("\nHadamard 后:")
ps.pprint(state)
# [2 basis states]
# |q=0⟩ : (0.707+0j)
# |q=2⟩ : (0.707+0j)

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Hadamard_Int_Full ¶

操作: 对整个寄存器应用完整 Hadamard，创建所有 \(2^n\) 个状态的均匀叠加

数学定义:

\[H^n|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{y=0}^{2^n-1}|y\rangle\]

类型约束: 整数类型

注意: 会创建 \(2^n\) 个基态，当 n 较大时可能导致内存问题。

ps.System.clear()

# 2 比特寄存器
ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, 2)

state = ps.SparseState()

# 完整 Hadamard：创建 2^2 = 4 个状态
ps.Hadamard_Int_Full("q")(state)

ps.pprint(state)
# [4 basis states]
# |q=0⟩ : (0.5+0j)
# |q=1⟩ : (0.5+0j)
# |q=2⟩ : (0.5+0j)
# |q=3⟩ : (0.5+0j)

# 再次应用 = 撤销（自伴）
ps.Hadamard_Int_Full("q")(state)
# 回到单基态

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Hadamard_Bool ¶

操作: 单量子比特 Hadamard

矩阵:

\[\begin{split}H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\end{split}\]

类型约束: ``Boolean``（寄存器大小必须为 1）

位约束: 无（默认操作第 0 位）

ps.System.clear()

# 单量子比特寄存器
ps.System.add_register("qubit", ps.Boolean, 1)  # 必须是 1 比特！

state = ps.SparseState()

ps.Hadamard_Bool("qubit")(state)

ps.pprint(state)
# [2 basis states]
# |qubit=0⟩ : (0.707+0j)
# |qubit=1⟩ : (0.707+0j)

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Hadamard_PartialQubit ¶

操作: 对寄存器中的指定量子比特应用 Hadamard

类型约束: 整数类型

位约束: 指定位置必须在寄存器范围内

ps.System.clear()

# 4 比特寄存器
ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, 4)

state = ps.SparseState()

# 只对第 1 和第 3 位应用 Hadamard
positions = {1, 3}
ps.Hadamard_PartialQubit("q", positions)(state)

# 创建 2^2 = 4 个叠加状态（仅翻转位置 1 和 3）

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使用场景 ¶

均匀叠加态 ¶

用于量子搜索、量子采样等算法：

# 创建地址寄存器的均匀叠加
ps.System.add_register("addr", ps.UnsignedInteger, n)
state = ps.SparseState()
ps.Hadamard_Int_Full("addr")(state)

# 现在 addr 在所有可能值上均匀分布

单个量子比特初始化 ¶

用于初始化控制比特：

ps.System.add_register("ctrl", ps.Boolean, 1)
ps.Hadamard_Bool("ctrl")(state)

# ctrl 处于 |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 状态

部分叠加态 ¶

用于选择性叠加：

# 只叠加低 2 比特
ps.Hadamard_Int("reg", 2)(state)

# 或叠加特定位置
ps.Hadamard_PartialQubit("reg", {0, 2})(state)