量子傅里叶变换 (QFT)¶

量子傅里叶变换是许多量子算法的核心组件。

概述 ¶

QFT 算子总览¶
算子	操作	幺正类
`QFT`	量子傅里叶变换	BaseOperator
`inverseQFT`	逆量子傅里叶变换	BaseOperator

数学定义 ¶

量子傅里叶变换定义：

\[QFT|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{y=0}^{2^n-1} e^{2\pi i xy / 2^n} |y\rangle\]

逆量子傅里叶变换：

\[QFT^\dagger|y\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x=0}^{2^n-1} e^{-2\pi i xy / 2^n} |x\rangle\]

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QFT ¶

操作: 对整数寄存器执行量子傅里叶变换

类型约束: UnsignedInteger 或 SignedInteger

位约束: 寄存器大小决定变换维度

import pysparq as ps

ps.System.clear()

# 4 比特寄存器
ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, 4)

state = ps.SparseState()

# 初始化为基态 |1⟩
ps.Init_Unsafe("q", 1)(state)

print("初始状态:")
ps.pprint(state)
# |q=1⟩ : (1+0j)

# 应用 QFT
op = ps.QFT("q")
op(state)

print("\nQFT 后:")
ps.pprint(state)
# 产生相位均匀分布的叠加态

# 撤销（逆变换）
op.dag(state)

inverseQFT ¶

操作: 对整数寄存器执行逆量子傅里叶变换

用途: 撤销 QFT 或解析相位信息

ps.System.clear()

ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, 4)

state = ps.SparseState()

# 创建叠加态
ps.Hadamard_Int_Full("q")(state)

# 应用逆 QFT
ps.inverseQFT("q")(state)

# 逆 QFT 和 QFT 互为逆运算
ps.QFT("q")(state)

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使用场景 ¶

周期发现（Shor 算法）¶

import pysparq as ps
import numpy as np

ps.System.clear()

# 相位寄存器
n_bits = 8
ps.System.add_register("phase", ps.UnsignedInteger, n_bits)

state = ps.SparseState()

# 模拟相位估计结果（假设周期 r = 5）
# |phase⟩ 包含周期性相位信息
ps.Hadamard_Int_Full("phase")(state)

# 应用逆 QFT 解析周期
ps.inverseQFT("phase")(state)

# 观测相位寄存器，确定周期
# ...

相位估计 ¶

# 假设已有相位估计电路
# 逆 QFT 将相位信息转换到计算基

# 1. 制备初态
ps.Hadamard_Int_Full("estimate")(state)

# 2. 执行受控幺正操作
# controlled_U(...)(state)

# 3. 逆 QFT 提取相位
ps.inverseQFT("estimate")(state)

# 4. 测量得到相位估计
# ...

量子信号处理 ¶

# QFT 用于频域分析
ps.System.add_register("signal", ps.UnsignedInteger, 16)

state = ps.SparseState()
# 加载信号数据...

# 变换到频域
ps.QFT("signal")(state)

# 频域处理...

# 变换回时域
ps.inverseQFT("signal")(state)

性能考虑 ¶

基态数量: QFT 作用于叠加态时，会产生 \(2^n\) 个基态
内存限制: 当 n 较大时（如 n > 20），可能导致内存问题
稀疏优化: PySparQ 只存储非零振幅基态，对于某些输入可能高效

备注

对于非完整的叠加态，QFT 的稀疏实现可能比全态模拟更高效。

实际示例 ¶

完整 QFT + inverseQFT 循环 ¶

import pysparq as ps
import numpy as np

ps.System.clear()

n = 3
ps.System.add_register("q", ps.UnsignedInteger, n)

state = ps.SparseState()

# 初始值
initial_value = 5
ps.Init_Unsafe("q", initial_value)(state)

print("初始状态:")
ps.pprint(state)

# QFT
ps.QFT("q")(state)
print("\nQFT 后:")
ps.pprint(state)

# inverseQFT
ps.inverseQFT("q")(state)
print("\ninverseQFT 后:")
ps.pprint(state)
# 恢复到 |q=5⟩