量子态层析

背景

量子态层析通过一组完整的测量来重建量子态的完整密度矩阵 \(\rho\)。对于 \(n\) 个比特，需要在所有 \(3^n\) 种 Pauli 基（XX, XY, XZ, YX, …, ZZ）下进行测量。

协议流程

对于 \(3^n\) 种单比特 Pauli 基的每种组合：

1. 旋转：施加基变换门，将测量基映射到计算基（\(Z\) 基）。

2. 测量：收集基于采样的测量结果。

3. 重建：通过线性反演或最大似然估计，将所有测量结果组合起来构建密度矩阵。

复杂度

• 测量次数：\(O(3^n \cdot S)\)，其中 \(S\) 为每个基的采样次数

• 经典后处理：密度矩阵重建需要 \(O(4^n)\)

• 局限性：指数级增长使其仅适用于小规模系统

对于更大规模的系统，可以考虑经典阴影层析（参见 shadow_tomography.py），它具有更好的扩展性。

运行示例

python examples/measurement/state_tomography.py --n-shots 2000

代码讲解

from uniqc.algorithmics.measurement import state_tomography, tomography_summary

# 执行层析
results = state_tomography(circuit, qubits=[0, 1], shots=2000)

# 获取重建的密度矩阵
rho = tomography_summary(results, n_qubits=2)

主要特性

• 完整重建：恢复完整密度矩阵，包括非对角相干项。

• 基于采样：适用于真实的（含噪声的）测量结果。

• 保真度估计：可将重建态与目标态进行对比。

输出

演示程序展示：

• 重建的密度矩阵

• 与精确态的保真度

• 布居数对比（对角元素）

References

1. James, D. F. V. et al. (2001). “Measurement of qubits.” Physical Review A 64, 052312.

2. Smolin, J. A. et al. (2012). “Efficient method for computing the maximum-likelihood quantum state from measurements with additive Gaussian noise.” Physical Review Letters 108, 070502.