变分量子本征求解器（VQE）#

背景与理论#

变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）是一种混合量子-经典算法，用于求解分子哈密顿量的基态能量。该算法由 Peruzzo 等人（2014）首次演示。

核心思想#

VQE 利用变分原理：对于任意参数化试探态 \(|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\)，

\[\langle\psi(\boldsymbol{\theta})|H|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle \geq E_0\]

其中 \(E_0\) 是真实的基态能量。通过在 \(\boldsymbol{\theta}\) 上最小化能量期望值，我们可以逼近 \(E_0\)。

算法流程#

┌─────────────┐    ┌──────────────┐    ┌──────────────┐
│  制备        │───▶│  测量         │───▶│  经典         │
│  |ψ(θ)⟩      │    │  ⟨ψ|H|ψ⟩     │    │  优化器       │
│  (拟设)      │    │  (期望值)     │    │  (更新 θ)     │
└─────────────┘    └──────────────┘    └──────────────┘
       ▲                                       │
       └───────────────────────────────────────┘
                    重复直至收敛

  1. 拟设（Ansatz）：使用参数化线路（如 UCCSD）制备 \(|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\)。

  2. 测量：通过测量每个 Pauli 串来估计 \(\langle H \rangle = \sum_i h_i \langle P_i \rangle\)。

  3. 经典优化：更新 \(\boldsymbol{\theta}\) 以最小化能量。

使用的主要组件#

组件

模块

功能

uccsd_ansatz

algorithmics.ansatz

参数化试探态

pauli_expectation

algorithmics.measurement

能量测量

OriginIR_Simulator

simulator

态矢量模拟

H₂ 分子#

本示例求解最小 STO-3G 基组下 H₂ 的基态（4 个自旋轨道，2 个电子）。哈密顿量经过 Bravyi–Kitaev 变换：

\[H = \sum_i h_i P_i + E_{\text{nuclear}}\]

预期结果：\(E_0 \approx -1.137\) Ha（精确 FCI 值）。

运行示例#

# 默认：H₂，100 次迭代
python examples/algorithms/vqe.py

# 自定义迭代次数
python examples/algorithms/vqe.py --maxiter 200

代码讲解#

1. 定义哈密顿量#

H2_HAMILTONIAN = [
    ("I0", -0.8105),
    ("Z0", +0.1720),
    ("Z0Z1", +0.1205),
    ("X0X1Y2Y3", -0.0455),
    # ... 更多项
]

2. 构建拟设#

from uniqc.algorithmics.ansatz import uccsd_ansatz

circuit = uccsd_ansatz(n_qubits=4, n_electrons=2, params=theta)

UCCSD 生成由 \(\boldsymbol{\theta}\) 参数化的单激发和双激发门。

3. 计算能量#

energy = sum(
    coeff * expectation_value(pauli_str, circuit)
    for pauli_str, coeff in hamiltonian
)

4. 优化#

使用简单的坐标下降优化器逐个更新参数以最小化能量。在实际应用中，可使用 scipy 的 COBYLA 或 SLSQP。

扩展方向#

  • 更大分子：通过扩展哈密顿量，可以求解 LiH、BeH₂、H₂O 等分子。

  • 更好的拟设：尝试硬件高效拟设（hea），适用于 NISQ 设备。

  • 噪声缓解：使用 classical_shadow 进行高效测量。

  • 基于采样的模拟：将态矢量模拟替换为 QASM_Simulator，获得更真实的测量统计。

References#

  1. Peruzzo, A. et al. (2014). “A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor.” Nature Communications 5, 4213.

  2. McClean, J. R. et al. (2016). “The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms.” New Journal of Physics 18, 023023.