热态制备电路组件#

背景与理论#

在统计力学中，量子系统在温度 \(T\) 下处于热平衡时，其状态由 Gibbs 态（热态） 描述：

\[\rho_\beta = \frac{e^{-\beta H}}{Z}, \quad Z = \mathrm{Tr}(e^{-\beta H})\]

其中 \(\beta = 1/(k_B T)\) 是逆温度，\(H\) 是系统哈密顿量，\(Z\) 是配分函数。

可分哈密顿量的热态#

对于无横向场的 Ising 型哈密顿量 \(H = \sum_{i=0}^{n-1} Z_i\)，热态可以分解为各量子比特的直积态：

\[\begin{split}\rho_\beta = \bigotimes_{i=0}^{n-1} \begin{pmatrix} p_0 & 0 \\ 0 & p_1 \end{pmatrix}\end{split}\]

其中：

\[p_0 = \frac{e^{\beta}}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \qquad p_1 = \frac{e^{-\beta}}{e^{\beta} + e^{-\beta}}\]

这是 Boltzmann 分布 在量子比特上的体现：\(\beta\) 越大（温度越低），\(p_0\) 越接近 1，系统更倾向于处于 \(|0\rangle\) 态。

电路实现#

由于热态是直积态，每个量子比特可以独立制备。对每个量子比特施加旋转门：

\[R_y(\theta)|0\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + \sin\frac{\theta}{2}|1\rangle\]

选择 \(\theta = 2\arccos(\sqrt{p_0})\)，即可得到正确的概率分布：

\[|\cos\frac{\theta}{2}|^2 = p_0, \qquad |\sin\frac{\theta}{2}|^2 = p_1\]

代码解析#

thermal_state_circuit#

from uniqc.algorithmics.circuits import thermal_state_circuit

函数签名：

def thermal_state_circuit(
    circuit: Circuit,
    beta: float,
    qubits: Optional[List[int]] = None,
) -> None:

参数：

  • circuit：量子线路对象（原地修改）

  • beta：逆温度（\(\beta \geq 0\)）

  • qubits：目标量子比特索引列表

实现逻辑：

  1. 计算 \(p_0 = e^\beta / (e^\beta + e^{-\beta})\)

  2. 计算旋转角 \(\theta = 2\arccos(\sqrt{p_0})\)

  3. 对每个目标量子比特施加 \(R_y(\theta)\)

与 state_preparation.thermal_state 的关系#

state_preparation 模块中的 thermal_state 支持任意哈密顿量，通过矩阵对角化计算热态。本电路组件是 \(H = \sum Z_i\) 特例的轻量级实现，不依赖矩阵运算，仅使用单量子比特旋转门。

运行示例#

# 默认参数：3 个比特，β = 1.0
python examples/circuits/thermal_state.py

# 自定义参数
python examples/circuits/thermal_state.py --n-qubits 4 --beta 2.0 --shots 4096

预期输出：

Thermal State Preparation — 3 qubits, β = 1.0
Single-qubit probabilities: p₀ = 0.880797, p₁ = 0.119203

Measured probability distribution (shots=8192):
  State         Measured     Theory
  ------------ ---------- ----------
  |000⟩      0.679932   0.682121
  |001⟩      0.092041   0.092378
  |010⟩      0.091187   0.092378
  |011⟩      0.012329   0.012514
  |100⟩      0.090576   0.092378
  |101⟩      0.012085   0.012514
  |110⟩      0.012085   0.012514
  |111⟩      0.001953   0.001700

扩展方向#

  • 含横向场的热态：\(H = \sum Z_i + h\sum X_i\) 不再可分，需要更复杂的电路

  • 变分热态制备：使用 VQE 类方法近似任意哈密顿量的热态

  • 量子 Metropolis 算法：通用热态采样方法

References#

  • Preskill, J. (1998). Lecture Notes on Quantum Computation. Caltech.

  • Wiebe, N., & Granade, C. (2016). “Can basis states be prepared efficiently on a quantum computer?” Phys. Rev. Lett.