VQD（变分量子压缩）算法#

背景与理论#

VQD（Variational Quantum Deflation）是一种混合量子-经典算法，用于逐个寻找哈密顿量的激发态。由 Higgott、Wang 和 Brierley 于 2019 年提出。

在许多物理和化学问题中，不仅需要基态能量，还需要激发态信息——例如分子的吸收光谱、材料的能带结构等。VQD 正是为此而设计。

核心思想#

VQD 的代价函数在 VQE 的基础上增加了一个惩罚项，用于将变分状态推离已找到的低能态：

\[C(\boldsymbol{\theta}) = \langle\psi(\boldsymbol{\theta})|H|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle + \sum_{i} \beta_i\,|\langle\psi(\boldsymbol{\theta})|\phi_i\rangle|^2\]

其中：

  • \(H\) 是目标哈密顿量

  • \(|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\) 是参数化 ansatz 生成的量子态

  • \(|\phi_i\rangle\) 是已找到的第 \(i\) 个低能态

  • \(\beta_i\) 是惩罚系数，需足够大以保证正交性

算法流程#

  1. 基态搜索：用标准 VQE 找到基态 \(|\phi_0\rangle\)

  2. 第 \(k\) 激发态：将前面找到的所有态 \(|\phi_0\rangle, \ldots, |\phi_{k-1}\rangle\) 加入惩罚项，优化 \(C(\boldsymbol{\theta})\)

  3. 重叠计算：\(|\langle\psi(\boldsymbol{\theta})|\phi_i\rangle|^2\) 通过 swap test 或 Hadamard test 在量子电路上估计

重叠测量：Swap Test#

计算两个 \(n\)-qubit 态 \(|\psi\rangle\) 和 \(|\phi\rangle\) 的重叠 \(|\langle\psi|\phi\rangle|^2\)，可以使用 swap test：

  1. 准备辅助比特于 \(|+\rangle\) 态

  2. 以辅助比特为控制，对两个寄存器执行受控 SWAP

  3. 测量辅助比特

测量辅助比特得 \(|0\rangle\) 的概率 \(P(0) = \frac{1 + |\langle\psi|\phi\rangle|^2}{2}\)，因此：

\[|\langle\psi|\phi\rangle|^2 = 2P(0) - 1\]

Hardware Efficient Ansatz（HEA）#

VQD 使用 HEA 作为参数化 ansatz，每层包含：

  1. 单比特旋转：每个 qubit 上施加 \(R_y(\theta)\) 门

  2. 纠缠层：相邻 qubit 之间的 CNOT 链

参数数量为 \(n_{\text{qubits}} \times n_{\text{layers}}\)。

代码解析#

构建电路#

from uniqc.circuit_builder import Circuit
from uniqc.algorithmics.circuits import vqd_circuit
import numpy as np

# 2-qubit 系统
c = Circuit(2)

# 假设已通过 VQE 找到基态
ground_state = np.array([1, 0, 0, 0], dtype=complex)

# 构建 VQD 电路
params = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
vqd_circuit(c, params, prev_states=[ground_state], n_layers=2)

构建重叠测量电路#

from uniqc.algorithmics.circuits import vqd_overlap_circuit

# 构建 swap test 电路
overlap_circ = vqd_overlap_circuit(
    prev_state=ground_state,
    ansatz_params=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4],
    n_layers=2,
)

运行示例#

完整的 VQD 示例位于 examples/circuits/vqd.py，演示了 2-qubit 系统 \(H = Z_0 + Z_1\) 的基态和第一激发态搜索：

# 默认参数
python examples/circuits/vqd.py

# 自定义参数
python examples/circuits/vqd.py --n-qubits 2 --n-layers 3 --penalty 15.0

运行输出示例：

=== VQD Example: H = Z₀ + ... + Z_{n-1} on 2 qubits ===
Exact eigenvalues: [-2.  0.  0.  2.]

--- Step 1: VQE (ground state) ---
VQE ground state energy: -2.000000  (exact: -2.000000)

--- Step 2: VQD (first excited state) ---
VQD first excited state energy: 0.000000  (exact: 0.000000)
Overlap with ground state: 0.000000

参考文献#

  • Higgott, O., Wang, D. & Brierley, S. (2019). “Variational Quantum Computation of Excited States.” Quantum 3, 156.

  • Kandala, A. et al. (2017). “Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets.” Nature 549, 242–246.