Dicke 态制备电路组件#

背景与理论#

Dicke 态 \(|D(n,k)\rangle\) 是 \(n\) 个量子比特上所有 Hamming 权重为 \(k\) 的计算基态的等权叠加：

\[\begin{split}|D(n,k)\rangle = \frac{1}{\sqrt{\binom{n}{k}}} \sum_{\substack{x \in \{0,1\}^n \\ |x| = k}} |x\rangle\end{split}\]

其中 \(|x|\) 表示比特串 \(x\) 中 1 的个数。

Dicke 态在量子信息中有广泛应用：

  • 量子计量学：作为 GHZ 态的噪声鲁棒替代，用于参数估计

  • 量子纠错：与纠错码的码字态密切相关

  • 多体物理：描述自旋系统的对称态

SCUC 算法#

本实现采用 Bärtschi & Eidenbenz (2019) 提出的 SCUC（Sequential Conditional Unitary Cascade）确定性算法，电路深度为 \(O(nk)\)，仅使用 CNOT 和单量子比特旋转门。

算法步骤：

  1. 初始化：将前 \(k\) 个量子比特置为 \(|1\rangle\)（施加 X 门），得到 \(|1\cdots10\cdots0\rangle\)

  2. 逐层传播：对每一层 \(j = k, k-1, \ldots, 1\)，从左到右扫描：

    • 对位置 \(i = j-1, j, \ldots, n-2\)，施加受控旋转门

    • 该门将部分振幅从”位置 \(i\) 为 1”重新分配到”位置 \(i+1\) 为 1”

  3. 结果：经过全部 \(k\) 层后，所有 \(\binom{n}{k}\) 个基态获得等权振幅

核心子程序是受控旋转 \(U(i,j)\)，等价于以量子比特 \(i\) 为控制、量子比特 \(i+1\) 为目标的 \(CR_y(2\theta)\)，其中 \(\theta = \arccos\sqrt{j/(i+2)}\)。

代码解析#

dicke_state_circuit#

from uniqc.algorithmics.circuits import dicke_state_circuit

函数签名：

def dicke_state_circuit(
    circuit: Circuit,
    k: int,
    qubits: Optional[List[int]] = None,
) -> None:

参数：

  • circuit：量子线路对象（原地修改）

  • k：激发数（目标态中 \(|1\rangle\) 的个数），满足 \(1 \leq k \leq n\)

  • qubits：目标量子比特索引列表

实现要点：

  1. 对前 \(k\) 个量子比特施加 X 门，初始化为 \(|1^k 0^{n-k}\rangle\)

  2. 受控旋转 \(U(i,j)\) 分解为 4 个基本门：\(R_y(\theta)\) → CNOT → \(R_y(-\theta)\) → CNOT

  3. 层循环 \(j\) 从 \(k\) 递减到 1，位置循环 \(i\) 从 \(j-1\) 递增到 \(n-2\)

门数分析#

总门数为 \(O(nk)\)：

  • X 门：\(k\) 个

  • 受控旋转：\(\sum_{j=1}^{k}(n - j) = kn - k(k+1)/2\) 个，每个分解为 4 个基本门

  • 总基本门数约 \(4kn - 2k(k+1) + k\)

运行示例#

# 默认：|D(4,2)⟩，6 个基态各有 1/6 概率
python examples/circuits/dicke_state.py

# 自定义参数
python examples/circuits/dicke_state.py --n-qubits 5 --k 2 --shots 4096

预期输出：

Dicke State |D(4,2)⟩ Preparation
Expected: 6 basis states, each with probability 0.166667

Measured probability distribution (shots=8192):
  State         Measured   Weight     Theory
  ------------ ---------- -------- ----------
  |0011⟩      0.166626     2✓  0.166667
  |0101⟩      0.167358     2✓  0.166667
  |0110⟩      0.165894     2✓  0.166667
  |1001⟩      0.166382     2✓  0.166667
  |1010⟩      0.167236     2✓  0.166667
  |1100⟩      0.166504     2✓  0.166667

Total weight on Hamming-weight-2 subspace: 1.000000 (expected: 1.0)

扩展方向#

  • 广义 Dicke 态：对每个基态赋予不同权重（非均匀叠加）

  • 噪声鲁棒性分析：研究 Dicke 态在退相干下的纠缠保持能力

  • 对称性保持子空间：利用 Dicke 态构造更大的对称态子空间

References#

  • Bärtschi, A., & Eidenbenz, S. (2019). “Deterministic Preparation of Dicke States.” Lecture Notes in Computer Science, vol 11644. Springer. https://arxiv.org/abs/1904.07358

  • Dicke, R. H. (1954). “Coherence in Spontaneous Radiation Processes.” Physical Review, 93(1), 99–110.