量子相位估计（QPE）#

背景与理论#

量子相位估计（QPE）用于估计酉算子特征值的相位。 给定酉算子 \(U\) 及其一个特征态 \(|\psi\rangle\)：

\[U|\psi\rangle = e^{2\pi i\varphi}|\psi\rangle\]

QPE 使用 \(n\) 个精度比特输出 \(\varphi \in [0, 1)\)，精度为 \(n\) 比特。

算法步骤#

步骤 1 — 在 \(m\) 个系统比特上制备特征态： $\(|\psi\rangle = \sum_x \alpha_x |x\rangle\)$

步骤 2 — 在 \(n\) 个精度比特上创建叠加态： $\(H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}|k\rangle\)$

步骤 3 — 受控 \(U\) 的幂次：对每个精度比特 \(k\)（值为 \(2^{n-k-1}\)）： $\(C-U^{2^{n-k-1}}: \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k,j}|k\rangle|j\rangle \to \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k,j}e^{2\pi i\varphi k \cdot 2^{n-k-1}}|k\rangle|j\rangle\)$

步骤 4 — 对精度寄存器施加逆 QFT： $\(\text{QFT}^{\dagger}\left(\sum_k e^{2\pi i\varphi k}|k\rangle\right) \approx |\tilde{\varphi}\rangle\)\( 其中 \)\tilde{\varphi}\( 是 \)\varphi$ 的二进制表示。

逆 QFT（QFTdagger）#

QFT 将 \(|x\rangle \to \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{2\pi ixk/N}|k\rangle\)。 QFTdagger 是其逆变换——通过反转 QFT 电路并使用伴随旋转角度来实现。

精度#

使用 \(n\) 个精度比特时，QPE 可达到 \(\pm 1/2^n\) 的精度，最高有效位接近概率为 1。 算法需要将特征态作为输入提供（它不能自行寻找特征态）。

代码解析#

apply_cu1#

实现 \(CU_1(\theta)\)，其中 \(U_1(\theta) = \text{diag}(1, e^{i\theta})\)： $\(CU_1(\theta) = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&e^{i\theta}\end{pmatrix}\)$

分解方式： $\(CU_1(\theta) = u_1(\theta/2) \cdot CX \cdot u_1(-\theta/2) \cdot CX\)$

apply_qft_dagger#

精度寄存器的逆 QFT 电路：

  • 以逆序级联施加 \(CU_1(-\pi/2^{j-i})\) 门

  • 然后在每个比特上施加 Hadamard

build_qpe_circuit#

  1. 在系统比特上制备特征态（默认为 \(|0\rangle^{\otimes m}\)）

  2. 在精度比特上施加 \(H^{\otimes n}\) 产生均匀叠加

  3. 对每个精度比特 \(k\)：施加由该比特控制的 \(U^{2^k}\)

  4. 对精度比特施加 QFTdagger

  5. 测量精度寄存器

运行示例#

# 估计 T 门的相位（相位 = π/8 ≈ 0.3927）
python examples/algorithms/qpe.py --n-precision 4 --unitary t

# 估计 Z 门的相位（特征值 = -1，即相位 = 0.5）
python examples/algorithms/qpe.py --n-precision 4 --unitary z

# 更多精度比特
python examples/algorithms/qpe.py --n-precision 6 --unitary t --shots 8192

预期输出：

 Quantum Phase Estimation
 Precision qubits: 4
 Phase precision:  1/16 = 0.0625
 Unitary: t

 Measurement results:
   |0110⟩  prob= 94.2%  phase=0.3750 ← most likely
   |0101⟩   prob=  2.1%  phase=0.3125
   |0111⟩   prob=  1.8%  phase=0.4375

 Estimated phase:  0.3750
 True phase:       0.3927
 Absolute error:   0.0177
  ✓ QPE complete.

设计说明#

  • 特征态输入：QPE 需要一个已知的特征态。对于非对角酉算子，输出是对应特征态分解的多个相位的叠加。

  • 受控酉算子：对于对角的 \(U\)，受控-\(U\) 通过编码相位角的 \(CU_1\) 门实现。级联分解处理多比特相位编码。

  • 二进制相位编码：QPE 将精度寄存器视为二进制小数 \(\varphi = \sum_k b_k / 2^k\)。测量得到的整数 \(m\) 给出 \(\tilde{\varphi} = m / 2^n\)。

扩展方向#

  • HHL 算法：将 QPE 作为量子线性方程组求解器的核心

  • 迭代 QPE（IQPE）：通过每次迭代测量并重用一个比特来减少比特数量

  • 量子计数：结合 Grover 搜索与 QPE 来计数目标态数量

References#

  • Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. Chapter 5.

  • Cleve, R., Ekert, A., Macchiavello, C., & Mosca, M. (1998). “Quantum algorithms revisited.” Proc. R. Soc. A. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9708016