Carleman 线性化（Carleman Linearization）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.qnlss.carleman · 阶段 V2

概述

把多项式非线性 ODE 提升为有限维线性系统。写

\[ u'=\sum_{p=0}^{D}F_p\,u^{\otimes p},\qquad u^{\otimes 0}=1, \]

其中 \(F_0\) 是常量强迫向量、\(F_1\) 是线性算子、\(F_p\)（\(p\ge 2\)）是对整个张量输入线性的收缩。令 \(y_k=u^{\otimes k}\)，乘积法则给出

\[ y_k'=\sum_{p=0}^{D}\sum_{j=0}^{k-1}\bigl(I^{\otimes j}\otimes F_p\otimes I^{\otimes(k-j-1)}\bigr)\,y_{k+p-1}. \]

截断阶 \(K\) 保留 \(y_0,\dots,y_K\)，丢弃来源阶数大于 \(K\) 的项，得到线性生成元 \(G_K\)；有限矩阵构造是确定的，逼近原非线性方程的程度取决于截断与适用条件（量子收敛/效率依据见 Carleman 论文 arXiv:2011.03185v4，另见微分方程章 §6）。

接口与输入模型

PolynomialODE(width, coefficients, initial, initial_norm=1.0)
carleman_lift(problem, *, cutoff=2)
carleman_initial(problem, *, cutoff=2)
carleman_qode(problem, time, linear_solver, *, cutoff=2)

API 入口：PolynomialODE、carleman_lift、carleman_initial、carleman_qode

  • width：物理寄存器位数 \(n\)（维数 \(d=2^n\)，上限 64）。

  • coefficients：((p, F_p 的 BE), ...)，次数非负且不重复；\(F_p\) 的 BE 宽度必须为 \(\max(1,p)\cdot n\)（补齐到方形的零信号块契约：前 \(d\) 行有效、其余行声明为零）。

  • initial / initial_norm：物理初态的 StatePreparation（SP）与原始向量范数；范数决定提升初态各阶的相对幅值，不是装饰属性。

  • linear_solver：三参数协议 (generator, initial, time) -> StateOracle，通常注入 linear_qode(...)。

三个入口分别返回：提升生成元 \(G_K\) 的 BlockEncoding（属性 algorithm="carleman_lift"、cutoff、coefficient_assumption）、提升初态的 StatePreparation、以及最终 StateOracle（属性 algorithm="carleman_qode"、cutoff、truncation_assumption="Carleman tail pending"）。

实现要点

寄存器布局为补齐布局：target = 数据区（K·n 位，低）+ level 寄存器（K.bit_length() 位，高）；阶 \(k\) 的有效数据只占前 \(k\cdot n\) 位，其余为零——不是紧凑的 \(1+d+\dots+d^K\) 地址，资源差别保留在报告中。

carleman_lift 对每个 \((k,p,\text{position})\)（\(1\le k\le K\)、来源阶 \(k+p-1\le K\)、位置 \(0..k-1\)）生成一个放置 BE：level 寄存器从来源阶路由到输出阶（XOR 翻转差位），\(F_p\) 作用在 position 起的连续 \(p\) 个 \(n\) 位组上，\(p>1\) 时输出保留在组内最低 \(n\) 位、零行移到数据区高端；所有项 LCU 求和得 \(G_K\)。

carleman_initial 制备归一化提升向量

\[ \frac{(1,\,u_0,\,u_0^{\otimes 2},\,\dots,\,u_0^{\otimes K})}{\sqrt{\sum_{k=0}^{K}\lVert u_0\rVert^{2k}}}, \]

按 level 受控地多次调用初态 oracle（work 预留 \(K\times\) 初态 work 宽度）。carleman_qode 把 \(G_K\) 与提升初态交给注入的线性求解器，再以 select_subspace 选中 level 1 通道（选择值 1 << ((cutoff-1)*width) 恰落在 level 寄存器最低位，同时要求高位数据位为零），选择条件并入 signal。

适用边界：\(G_K\) 不保证耗散，即使原 PDE 或 \(F_1\) 耗散。接 Schrödingerization 可直接传 \(G_K\)（另判恢复区）；接 LCHS 必须确认 \(\mathrm{Hermitian}(-G_K)\succeq 0\)，或做作用在整个提升系统（含 level 0）的整体移位 \(\mu\ge\alpha_{G_K}\)，移位代价应在应用配置中可见。张量尾项的截断误差未量化（truncation_assumption 标注 pending）。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_differential.py:DifferentialStructureTests.test_four_methods_keep_input_oracles 的 Carleman 分支——PolynomialODE(1, ((1, a), (2, f2)), initial) 以抽象 BE 为系数、CBMD 为线性求解器时，开放槽 input_A/input_b/input_F2 全部保留，且存在 carleman_row_level == 1、carleman_column_level == 2 的放置模块，序列化往返成立。

  • 数值：tests/core/test_differential.py 定位为结构测试；截断收敛的数值对拍归入统一的 ODE 收敛基准（见已知缺口）。

  • 绑定：同类注册与契约检查——系数 BE 宽度、次数唯一性与初态布局在 PolynomialODE.__post_init__ 生成期校验，违例抛 ValidationError。

已知缺口与计划阶段

统一的"解析可解 ODE 族"收敛基准缺失（同一问题过全部求解器，含 Carleman 截断阶扫描），归入阶段 V2 的收敛性扫描框架；与 validation-coverage.md 的 carleman.py 行一致。

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_ode.py（ode 组，本文件覆盖 carleman.py 的部分）。经典参考全部独立：提升生成元 \(G_K\) 按乘积法则在补齐布局上用 numpy 逐基组装、提升初态按张量幂解析构造、截断线性系统用 scipy.linalg.expm、非线性精确解用 scipy.integrate.solve_ivp（Riccati，rtol=1e-12）；量子程序在真实后端 reference、rir-pysparq、adapter-pysparq 与 OriginIR-ext（UniQC 全振幅/to_matrix）上执行。

实验设计：(a) 提升块——Riccati 问题 \(u'=-u+u^2\)（\(F_1=-I\)，\(F_2\) 为收缩矩阵 \(C e_{i_0+2i_1}=\delta_{i_0,i_1}e_{i_0}\)，\(d=2\)），截断 \(K=2\)，提取 \(G_K\) 的零信号块（幺正 to_matrix + effective_block，并与 reference 基态扫描交叉）对照独立组装；(b) 提升初态——\((1,u_0,u_0^{\otimes2})/Z\)（\(u_0=(0.6,0.8)\)、\(r=0.5\)）四路径全振幅穷举；(c) 端到端——carleman_qode 注入三参数协议求解器（验证脚本内的最小截断 Taylor \(e^{Gt}\) 块编码组装，真实量子程序，degree 3），\(t=0.2\)，物理通道对全堆叠 numpy 仿真；(d) 截断趋势——\(K=1,2\) 量子运行的截断误差对 solve_ivp 精确 Riccati 解，\(K=3\) 经典补点。

关键指标：

案例

规模

路径

指标

数值

carleman-lift-block

\(K\)=2、10 量子位

originir+to_matrix、reference

\(G_K\) 块逐元素最大偏差

3.4e-16

carleman-initial-state

4 量子位

四路径

全振幅最大偏差

0.0

carleman-riccati-endtoend

18 量子位

reference、rir

实现误差（对独立仿真）

2.8e-17

同上

Taylor 余项（degree 3，信息性）

1.4e-4

同上

Carleman 截断误差（对精确非线性解）

1.1e-3

同上

量子方向 vs 截断线性精确解方向

4.8e-5

carleman-cutoff-trend

\(t=0.2\)

量子（K=1,2）+ 经典（K=3）

截断误差 K=1 / K=2 / K=3

9.3e-3 / 1.1e-3 / 1.05e-4

截断误差每升一阶约降一个量级，是 Carleman 截断收敛的直接数值证据。成功子空间概率（信号全零）同时与经典值逐点对拍一致。

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_ode.py

产物：out/verification/ode.json（carleman-* 共 5 个案例）。

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