QSP 相位合成（QSP Phase Synthesis）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.common.qsvt · 阶段 V2

概述

量子信号处理（QSP）相位合成：给定实系数目标多项式，求出使 QSVT 相位序列 实现该多项式的相位序列 \(\Phi\)。模块导出一对互逆例程：qsp_response(x, phases) 正向求值，返回相位序列在反射约定下的顶层左块 \(p(x)\)（\(x \in [-1, 1]\)）；qsp_phases(coeffs, imag=None) 逆向合成，返回时间正序相位（长度 \(d + 1\)，\(d\) 为目标度数）。

合成默认采用 Gilyén et al. 2019（arXiv:1806.01838，模块 docstring 引用）的补多项式求根加逐层剥离（layer stripping）。端点未饱和的实目标（如 \(1/x\) 的截断近似）必须借助非零虚部补全 \(h\)：合成 \(P = f + i h\) 后，再用 \((U_\Phi + U_{-\Phi})/2\) 的 LCU 组合提取实部——\(-\Phi\) 恰好实现共轭多项式 \(\bar{P}\)，块编码即为 \(f(A/\alpha)\)。

相位合成是可替换组件：qsp_phases 及上游标准变换族接受可选的 synthesizer 参数（PhaseSynthesizer 协议）。内置路线仍是默认并保留度数守卫；替换合成器不受度数守卫限制，但其输出必须通过同一约定校验——钉死补全模式（给定 imag）下要求逐点复现 \(P = f + i h\)，自由补全模式（imag=None）下只钉死实部 \(\mathrm{Re}\,p = f\)，补余虚部由合成器自选。库的全部消费端只依赖实部（实部提取 LCU），因此自由补全模式足够；定点搜索的 YLC 目标 \(P\) 一般为复值，走钉死补全模式。

接口与输入模型

qsp_response(x, phases)
qsp_phases(coeffs, imag=None, *, synthesizer=None)

API 入口：qsp_response、qsp_phases、PhaseSynthesizer

• x：标量谱变量（\(x \in [-1, 1]\)）；phases：相位序列。返回复数 \(p(x)\)。

• coeffs：目标多项式 \(f\) 的升幂实系数（常数项在前）；imag：可选虚部补全 \(h\)，同为升幂实系数。

• synthesizer：可选的替换相位合成器，实现 PhaseSynthesizer 调用契约（输入升幂实系数与可选补全，输出时间正序、长度 \(d+1\) 的反射约定相位序列）。给定 imag 时合成器必须精确复现 \(P = f + i h\)；imag=None 时只要求 \(\mathrm{Re}\,p = f\)。仓库附带基于 pyqsp 的可选适配器 oracq.algorithms.common.qsp_pyqsp.PyqspSynthesizer（对称 QSP Newton 法，仅自由补全模式；需安装 pyqsp extra，核心不新增硬依赖）。

两个入口都是纯数值例程，不生成量子程序，因此没有 input model；产物（相位元组）供 qsvt_sequence 与标准变换族消费。可实现条件（违反时抛 ValidationError）：\(f\) 与 \(h\) 的奇偶性均为 \(d \bmod 2\)；\([-1,1]\) 上 \(f^2 + h^2 \le 1\)；端点饱和 \(f(\pm 1)^2 + h(\pm 1)^2 = 1\)；补多项式 \(R = (1 - f^2 - h^2)/(1 - x^2)\) 非负且满足谱分解的根重数条件。\(d = 0\) 的目标必须是单位模常数，此时返回单相位。

实现要点

合成管线：输入校验（实系数、奇偶性、上界、端点饱和、\(R\) 非负）→ \(R\) 求根（纯 Python Durand–Kerner 迭代，按相对距离聚类重根）→ 根结构分类（实根成对、纯虚根成对、复根共轭-反号四元组）构造 \(Q\) 使 \(Q\bar{Q} = R\) → layer stripping 逆向恢复相位（双精度复数）→ 用 qsp_response 在 512 点网格上往返自检，误差超过 1e-5 抛出 ValidationError。

qsp_response 的求值是 2×2 矩阵递推：从恒等阵出发，每步先左乘 \(W(x)\)（时间上先于本步相位的作用，首相位除外）、再左乘 \(S(\varphi)\)，返回累积矩阵的 \((0,0)\) 元。除独立调用外，它还是合成器内部的自检工具：qsp_phases 与 fixed_point_search_phases 在剥离结束后都用它做网格往返校验。

数值边界有两层，需要区分。合成侧：内置路线的度数上限为 40；度数几十以内、补多项式根分离良好时往返误差典型在 1e-9 量级。度数较高（≳ 16）或补多项式近重根时求根与剥离数值不稳定，自检会拒绝病态输入而非输出错误相位。表示侧：库的系数级管线是单项式（升幂）表示，双精度网格求值在度数约 40 以上整体失真（\(T_{41}\) 的首项系数为 \(2^{40}\)，Horner 求值在 \(|x| \approx 1\) 处灾难性抵消），该边界与合成路线无关——替换合成器越过的是合成度数守卫，不能越过表示极限。高度数目标（如 κ=8、ε=1e-2 反演的 585 次多项式）必须在 Chebyshev 基下构造与校验：qsp_pyqsp.chebyshev_phases_via_pyqsp 直接接受 Chebyshev 系数。适配的约定映射（pyqsp 的 Wx 旋转约定、θ₀ 末作用、目标落在 \(\mathrm{Im}\,U_{00}\)，映射为反射约定时间正序相位并按 \(d \bmod 4\) 修正端相位）由 qsp_response 网格往返独立校验。κ=8 用例的实测：度数 585，往返残差 1.0e-13，\(|x| \ge 1/8\) 上对 \(c/x\) 的逼近误差 1.8e-3 ≤ 1e-2（tools/expressiveness/t1_qsp_phases.py；2×2 块编码执行级方向误差 5.6e-13，见 t2_qsvt_inversion.py）；库级系数入口 qsvt_matrix_inversion 在同一参数下仍由往返守卫显式拒绝，不产生隐性行为。适用边界：只接受实系数目标，复目标需拆分为实部加虚部补全；返回相位的时间顺序约定与 qsvt_sequence 电路约定逐步对齐（见 QSVT 相位序列）。标准变换族（矩阵求逆、特征态过滤、哈密顿模拟、定点搜索）的相位默认经本管线合成。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../../development/validation-plan.md §2）。三层证据：

• 结构：tests/core/test_qsvt.py:PhaseSynthesisTests.test_input_validation——奇偶性违例、上界违例、端点未饱和、非实系数、虚部奇偶性五类负例全部在合成期抛 ValidationError。

• 数值：test_roundtrip_chebyshev（Chebyshev 多项式 \(T_n\)，\(n = 1..6\)，51 点网格往返一致 delta = 1e-8，相位长度 \(n + 1\)）；test_roundtrip_with_explicit_imaginary_part（\(P = (0.5 + i\sqrt{0.75})x\)，\(|P|^2 = x^2\)、\(Q = 1\) 的精确可实现例，delta = 1e-9）；test_negated_phases_conjugate_polynomial（\(-\Phi\) 实现 \(\bar{P}\)，实部提取所依赖，delta = 1e-12）；test_convention_matches_qsvt_sequence（qsp_response 与电路零信号块逐点一致 delta = 1e-10）。

• 可替换性：tests/core/test_qsvt.py:PhaseSynthesizerTests——注入合成器的接受与自检拒绝（错误相位、长度不符、非有限值）、钉死补全模式的精确性、度数守卫只对内置路线生效、上游消费端注入委托合成器后输出逐位不变（dumps 对拍）、κ=8/ε=1e-2 在内置路线下的显式拒绝。安装 pyqsp extra 后 tests/core/test_qsp_pyqsp.py 覆盖：约定映射在多种奇偶度数下与独立目标求值逐点一致（delta 1e-8）、钉死模式拒绝、κ=3/error=0.05（度数 51，越过内置守卫）的块编码端到端对拍、κ=8 库级入口的显式失败、κ=8 相位级达标（残差 ≤ 1e-2 且 \(|x| \ge 1/8\) 逼近误差 ≤ 1e-2）。

• 绑定：纯数值例程，无绑定见证。

已知缺口与计划阶段

与验证覆盖矩阵 qsvt.py 行一致：收敛性扫描缺失（误差随度数的批量曲线未自动化，待阶段 V2 的收敛性扫描框架接入）；病态负例（度数 ≳ 16 或精度过低）的参数化测试已通过 test_input_validation 局部覆盖，单独的"病态输入必须抛错"批量参数化待补。

相关链接

• 源码：src/oracq/algorithms/common/qsvt.py；pyqsp 适配器：src/oracq/algorithms/common/qsp_pyqsp.py

• API 参考：QSVT 标准变换

• 同族页面：QSVT 相位序列（相位消费端）、QSVT 矩阵求逆（虚部补全的典型用例）

• 验证矩阵：验证覆盖矩阵

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_hamiltonian.py（真实后端执行，无模拟替身）。实验设计：目标多项式取 Chebyshev \(T_1,\dots,T_6\) 与精确可实现例 \(P = (0.5 + i\sqrt{0.75})x\)，由 qsp_phases 合成相位后在 401 点均匀网格上用 numpy 按本文档 \(W(x)\) / \(S(\varphi)\) 约定独立实现的 2×2 矩阵递推响应求值（不调用库内 qsp_response，两者互为独立实现），与目标多项式的独立 Horner 求值逐点对拍。

案例	规模	后端路径	指标	数值
qsp-phase-synthesis-roundtrip	7 个目标，401 点网格	numpy 独立响应（合成器不生成量子程序）	max_error	3.8e-15
同上（Chebyshev \(T_1\)–\(T_6\)）	—	—	per-target 误差	0 – 3.8e-15
同上（显式虚部目标）	—	—	误差	2.2e-16

合成相位在电路层面的消费端对拍（四后端路径、随机相位、矩阵多项式块）见 QSVT 相位序列 的数值验证节。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_hamiltonian.py

产物：out/verification/hamiltonian.json。