Fokker–Planck 输入模型（Fokker–Planck Input Model）¶

English · 简体中文

类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.qode.sde · 阶段 V3

概述¶

一维 Itô 随机微分方程 \(dx=a(x)\,dt+\sqrt{2D(x)}\,dW\) 的概率密度满足 Fokker–Planck 方程

\[ p'=-\partial_x(a\,p)+\partial_{xx}(D\,p). \]

本模块在均匀网格上做零通量有限体积离散，得到列和为零的离散生成元 \(G\)（约定 \(p'=Gp\)）；\(G\) 经显式 Pauli 展开成为 BlockEncoding 后组装 QODEProblem / LinearODE，交给现有线性 ODE 求解器（LCHS 等）。生成元的耗散性是输入模型的声明，不由语言证明。模块同时提供纯 Python 的经典见证工具（矩阵指数、Euler 演化、矩、离散与连续稳态参考），用于数值对拍。

接口与输入模型¶

FokkerPlanckProblem(drift, diffusion, grid)
problem.generator_matrix() / generator_encoding() / qode_problem(initial=None)
problem.linear_ode(initial=None)
sde_state_preparation(probabilities, *, implementation="gate", angle_width=8, work_width=0)
sde_state_angles(probabilities, *, angle_width=8)
matrix_exponential(matrix, time=1.0)
evolve_distribution(matrix, initial, time, *, steps=None)
distribution_moments(points, probabilities, orders=(1, 2))
stationary_distribution(problem)
boltzmann_distribution(problem)

API 入口：FokkerPlanckProblem、sde_state_preparation、sde_state_angles、matrix_exponential

FokkerPlanckProblem：input model 为 CP（漂移、扩散与网格坐标直接参数化），产出 BE + SP。drift / diffusion 可为常量或逐点向量（扩散要求 \(D\ge 0\)），grid 须是严格递增的均匀网格；派生属性 points、spacing、size、width（网格点数须为二的幂）。
generator_encoding()：显式 Pauli 展开的小网格 BE，仅支持 width <= 5（不超过 32 点），大实例需要访问 oracle，不宣称量子加速。
qode_problem(initial=None)：返回 QODEProblem（dissipative=True，evidence="fokker_planck_zero_flux_finite_volume; dissipative caller-declared"），默认初态为均匀叠加。
linear_ode(initial=None)：同一问题 \(u'=-Au\)（\(A=-G\)）的 LinearODE 视图，label 为 "fokker_planck_minus_A"。
sde_state_preparation：把离散分布编码为幅度 \(\sqrt{p_i}\) 的 StatePreparation，"gate" 为复用旋转实现、"qram" 为 QRAM 角表实现（配 sde_state_angles 生成绑定数据）。
经典见证工具：matrix_exponential（缩放平方 + Taylor）、evolve_distribution（矩阵指数精确或显式 Euler）、distribution_moments、stationary_distribution / boltzmann_distribution。

实现要点¶

离散化在相邻网格点之间的面上进行，面上系数取两点平均；前向 / 后向速率分别为 \(\bigl(\tfrac{a}{2}+\tfrac{D}{h}\bigr)/h\) 与 \(\bigl(\tfrac{a}{2}-\tfrac{D}{h}\bigr)/h\)，按守恒形式写入 \(G\)，使每一列的和恰好为零（零通量边界）。离散稳态有精确闭式：相邻点比值为 \((1+u)/(1-u)\)，其中 \(u=ah/(2D)\) 为面上的有效网格 Péclet 数；\(|u|\ge 1\) 时中心差分稳态不再为正，直接抛错。连续稳态参考 \(p\propto\exp(\int a/D\,dx)\) 的离散相邻比值为 \(e^{2u}\)，与离散稳态相差 \(O(h^2)\)。

耗散声明与初值范数经 QODEProblem 的 evidence / dissipative 字段进入求解协议（见 QODE 问题对象与协议）；QRAM 态制备只接受非负实幅度，带符号或复相位需另行实现。

验证方案¶

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：与经典参考（解析矩 / 闭式稳态）在容差内比较。三层证据位于 tests/core/test_sde.py：

结构：GeneratorDiscretizationTests / StatePreparationTests / SolverContractTests 的构造断言；SolverContractTests.test_invalid_inputs_rejected 与 StatePreparationTests.test_invalid_probabilities_rejected 覆盖负扩散、非均匀网格、点数非二的幂、非法初态宽度与非法概率等违例。
数值：GeneratorDiscretizationTests.test_ou_moments_match_closed_form——16 点 OU 过程（\(\theta=1\)、\(D=0.5\)、\(t=0.4\)）演化后均值对闭式 \(\mu_0 e^{-\theta t}\) 容差 2e-3、方差对 \(\sigma_0^2 e^{-2\theta t}+\frac{D}{\theta}(1-e^{-2\theta t})\) 容差 2e-2；test_stationary_approaches_boltzmann——均匀初态弛豫 30 个时间单位后与离散稳态逐点差 1e-6，离散稳态与 Boltzmann 参考逐点差 2e-2；test_column_sums_vanish（列和为零，places=12）。辅助见证：test_evolution_conserves_probability（精确与 Euler 演化保概率 places=9、逐点 delta 1e-4）与 test_matrix_exponential_matches_euler_limit（Euler 一阶收敛率 \(e_{\text{fine}}<0.6\,e_{\text{coarse}}\)）。
绑定：SolverContractTests.test_qode_problem_accepted_by_lchs——4 点 OU 网格的 QODEProblem 以 Boltzmann 分布为初态，经 linear_qode("lchs")（Cauchy cutoff=0 计划、Taylor 1 阶）的 check().require() 与 solve，输出宽度 2、qode_dissipative_promise 透传正确、程序序列化往返；StatePreparationTests.test_gate_preparation_amplitudes_are_root_probabilities 与 test_qram_preparation_declares_angle_table 覆盖 gate / QRAM 两类态制备实现。

已知缺口与计划阶段¶

SDE 与 LCHS 的端到端 catalog 案例缺失（离散化 → QODEProblem → 求解 → 读出的目录级登记），归入阶段 V3 的 catalog 登记计划；与 validation-coverage.md 的 sde.py 行一致。

数值验证¶

论文级数值实验见 tests/verification/verify_nt_qlss_sde.py（nt_qlss_sde 组）。经典预言机全部独立：scipy.linalg.expm 传播子、OU 闭式矩、固定种子 Euler–Maruyama Monte Carlo（numpy，seed=20260916）、\(G\) 的零空间向量（numpy 特征分解）；量子部分在真实后端（reference、rir-pysparq、adapter-pysparq、OriginIR-ext）上验证。

实验设计：(a) 输入模型——16 点 OU 网格（\(\theta=1\)、\(D=0.5\)）生成元的列和、演化保概率、谱横坐标，库矩阵指数对照 scipy.expm；(b) 显式 Euler（evolve_distribution(steps=k)）对照 scipy 精确传播子的时间收敛阶；(c) OU 矩三方对拍——Fokker–Planck 网格矩 vs 闭式 \(\mu_0 e^{-\theta t}\) / \(\sigma_0^2 e^{-2\theta t}+\frac{D}{\theta}(1-e^{-2\theta t})\) vs \(2^{18}\) 粒子 Monte Carlo（\(dt=10^{-3}\)）；(d) 稳态——离散稳态对照零空间向量、长时间松弛收敛、与 Boltzmann 连续参考的 \(O(h^2)\) 差距；(e) 量子通道——sde_state_preparation 的 gate 实现振幅恰为 \(\sqrt{p_i}\)（四路径全振幅），QRAM 角表实现对照独立量化角旋转树（实现误差与方法误差分开报告），4 点 OU 生成元的 Pauli 块编码在基态驱动下验证 \((\text{signal}=0)\) 块振幅乘 \(\alpha\) 恰为 \(G\)（四路径）。

关键指标：

案例	规模	路径	指标	数值
sde-generator-conservation	16 点	scipy oracle	列和 / 保概率 / 矩阵指数偏差	0.0 / 4.4e-16 / 6.9e-16
sde-euler-convergence-order	\(k\)=2000→8000	scipy oracle	误差 / 实测阶	3.12e-6→7.80e-7 / 1.0001、1.0001
sde-ou-moments-vs-monte-carlo	\(t=0.4\)	numpy MC	均值：FPE vs 闭式 / MC vs 闭式	7.0e-9 / 4.2e-4
同上			方差：FPE vs 闭式 / MC vs 闭式	1.94e-2（网格截断）/ 1.1e-3（统计涨落）
sde-stationary-boltzmann	16 点、\(T=30\)	numpy/scipy	TVD：稳态 vs 零空间 / 弛豫 / Boltzmann	2.8e-15 / 4.2e-14 / 1.2e-3
sde-state-preparation-gate	2 量子位	四路径	振幅与 \(\sqrt{p}\) 最大偏差	5.6e-17
sde-state-preparation-qram	angle_width 8	双路径	实现误差 / 量化方法误差	2.2e-16 / 2.9e-3
sde-generator-encoding	4 点、\(\alpha=4\)	四路径	块振幅 × \(\alpha\) vs \(G\)	3.3e-16

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_nt_qlss_sde.py

产物：out/verification/nt_qlss_sde.json（sde-* 共 7 个案例）。

数值验证（ode 组）¶

本节为 ode 组对 QODEProblem 消费链路的补充验证（与上一节 nt_qlss_sde 组的输入模型验证并列），见 tests/verification/verify_ode.py。经典参考全部独立：scipy.linalg.expm 与库内纯 Python sde.matrix_exponential 互证、numpy 逐分支 LCHS 仿真；量子程序在真实后端 reference 与 OriginIR-ext 上执行。

实验设计：4 点 OU 网格（\(\theta=1\)、\(D=0.5\)、网格 \((-1.5,-0.5,0.5,1.5)\)）零通量离散生成元经 generator_encoding()（显式 Pauli 展开 BE）与 qode_problem(initial)（Boltzmann 根振幅初态、dissipative=True）组装为 QODEProblem，由 linear_qode("lchs")（Cauchy cutoff=2、Taylor degree 2）的 solve 求解 \(t=0.3\)；后选择块对照 \(L+iH\) 分解的独立仿真与精确传播子。