Gibbs 态制备（Gibbs State Preparation）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.input_model.density · 阶段 V1

概述

给定哈密顿量 \(H\) 的块编码与逆温 \(\beta \ge 0\)，制备 Gibbs 态 \(\rho = e^{-\beta H}/Z\)（\(Z = \operatorname{Tr} e^{-\beta H}\)）的近似纯化。实现走 QSVT 纯化路线（Chowdhury–Somma 2017、van Apeldoorn–Gilyén 2019、Gilyén et al. 2019, arXiv:1806.01838）：先在 system 与 environment 上制备最大混合态的纯化（\(n\) 对 Bell 对，见纯化访问），再对 system 作用零信号块正比于 \(g(H/\alpha)\) 的 QSVT 块编码，其中谱变量 \(x = \lambda/\alpha \in [-1,1]\) 上

\[ g(x) = \exp\!\bigl(-\tfrac{\beta\alpha}{2}(x+1)\bigr) \in (0, 1], \qquad c = \beta\alpha/2 . \]

\(g\) 按奇偶分解为 \(e^{-c}\cosh(cx)\) 与 \(-e^{-c}\sinh(cx)\) 两支，各以修正 Bessel 截断逼近；后置选择 signal == 0 后，system 的约化密度矩阵正比于 \(g(H/\alpha)^2 = e^{-\beta H}\)（至多相差归一化）。

接口与输入模型

gibbs_purification(hamiltonian, beta, *, error=0.01)

API 入口：gibbs_purification

  • hamiltonian：BlockEncoding，约定 \(H\) 的谱含于 \([-\alpha, \alpha]\)（input model 为 BE + DM；\(\alpha\) = be_alpha）。

  • beta：逆温 \(\beta \ge 0\)；\(\beta = 0\) 时退化为最大混合态纯化（qsp_degree = 0、gibbs_scale = 1.0）。

  • error：多项式一致逼近误差，必须在 \((0, 1)\) 内；每支截断尾部按 \(\le\) error/8 控制。

返回 ApproximatePurification（oracle_kind = "approximate_purification"，操作签名为 ("system", "environment", "signal")）。模块属性：

属性

含义

algorithm

"gibbs_purification"

beta / error

调用参数回显

qsp_degree

偶/奇两支截断度数的较大者

gibbs_scale

零信号块归一化 \(2s\)（与配分函数无关，不影响约化态）

success_condition

"signal == 0"

width / environment_width / signal_qubits

三个寄存器的宽度

经典参考 gibbs_state(hamiltonian, beta)（小矩阵 \(e^{-\beta H}/\operatorname{Tr}\)）与 trace_distance 供见证与下游复用。

实现要点

生成链为 Bell 对制备 → 偶/奇支截断 → 相位合成 → LCU 相加。偶/奇支均为凸函数，端点匹配的虚部补全恒满足单位圆盘约束（\(f^2(x)\) 不超过端点连线），相位合成必然可行；每支经虚部补全合成相位后用 \((U_\Phi + U_{-\Phi})/2\) 提取实部，两支再经 linear_combination 相加。缩放 \(s = 1.5\max(\lVert g_{\mathrm{even}}\rVert_\infty, \lVert g_{\mathrm{odd}}\rVert_\infty, 10^{-3})\)，两支合计一致误差不超过 error/4。

寄存器布局：system(n) | environment(n) | signal(gibbs_be.signal_qubits)，其中 environment 承载 Bell 对的另一半。适用边界：\(\beta\alpha\) 过大时多项式度数超过合成上限（40），生成期抛出 ValidationError（提示减小 \(\beta\) 或先缩小 \(H\) 的谱尺度），不静默降级；输入必须是块编码而非稀疏 oracle。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：后置选择后的约化密度矩阵须在容差内逼近经典参考 Gibbs 态。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_density.py:GibbsTests.test_beta_zero_is_maximally_mixed（\(\beta=0\) 退化路径的属性与 \(I/2\) 对拍）与 test_invalid_inputs_fail_at_generation（\(\beta < 0\)、error 为 0 或 \(\ge 1\)、hamiltonian 非 BlockEncoding 等）。

  • 数值：GibbsTests.test_diagonal_hamiltonian_gibbs 与 test_non_diagonal_hamiltonian_gibbs——对 2×2 对角 / 非对角哈密顿量（\(\beta = 0.6 / 0.8\)、error = 0.05）在参考模拟器上取 signal == 0 分支，偏迹重归一后与 gibbs_state 经典参考对拍，迹距离 < 0.1。

  • 绑定：本算法无独立绑定见证（输入已要求具体 BE）。

收敛见证（V1 新增）：test_error_convergence_decreases 固定 \(\beta = 0.8\) 扫 error ∈ {0.4, 0.2, 0.1}，断言各档迹距离单调不增且每档 ≤ error——实测口径 5.6e-4 / 8.7e-5 / 8.7e-5（error 0.2 与 0.1 落到同一截断度数，距离相同，故断言不增而非严格下降）；test_error_bound_uniform_in_beta 固定 error = 0.1 扫 \(\beta\) ∈ {0.2, 0.5, 1.0}，各点迹距离 ≤ error，实测 2.7e-6 / 1.5e-5 / 1.9e-4，随 \(c = \beta\alpha/2\) 增长但始终远小于 error。

已知缺口与计划阶段

无已知缺口，阶段 V1 见证已齐（对角/非对角对拍 + error 三档单调不增扫描 + β 网格一致性）。

相关链接

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_hamiltonian.py（真实后端执行，无模拟替身）。实验设计：非对角哈密顿量 \(H = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & -0.3 \end{pmatrix}\)（\(\alpha = 0.7\)，\(\beta = 1.2\)）与对角哈密顿量 \(H = \operatorname{diag}(0.8, -0.4)\)（\(\beta = 0.6\)），error = 0.02；另有 \(\beta = 0\) 退化例。在 reference / rir-pysparq / originir-ext 路径上执行纯化程序，取 signal == 0 分支，用 numpy 独立实现偏迹并重归一，与 scipy.linalg.expm 计算的经典 Gibbs 态 \(e^{-\beta H}/Z\) 比较迹距离（numpy.linalg.eigvalsh），并报告后选择成功概率。

案例

规模

后端路径

指标

数值

gibbs-trace-distance-nondiag

13 量子位，\(\beta = 1.2\)

reference、rir-pysparq、originir-ext

迹距离

5.10e-5

同上

—

—

成功概率

0.0953

gibbs-trace-distance-diag

对角 \(H\)，\(\beta = 0.6\)

reference、rir-pysparq

迹距离

1.28e-5

同上

—

—

成功概率

0.0992

gibbs-beta0-maximally-mixed

\(\beta = 0\) 退化路径

reference、rir-pysparq、originir-ext

迹距离

0.0（精确 \(I/2\)）

三例迹距离均远小于 3×error = 0.06 的判据（实测最高 5.1e-5），与页面所载收敛见证（迹距离随 error 单调不增且远小于 error）一致。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_hamiltonian.py

产物：out/verification/hamiltonian.json。