Schrödingerization 非酉演化模拟（Schrödingerization）

English · 简体中文

类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.qode.schrodingerization · 阶段 V2

概述

对 \(u'=Gu\) 写 \(G=H_1+iH_2\)（\(H_1,H_2\) 均为 Hermitian）。引入辅助变量 \(p\)，在有效恢复区域使用 \(v(t,p)=e^{-p}u(t)\)，初值对两侧延拓为 \(v(0,p)=e^{-|p|}u_0\)，则提升方程为

\[ \partial_t v=-H_1\,\partial_p v+iH_2 v , \]

Fourier 化后成为 Hermitian Hamiltonian \(K=P\otimes H_1-I\otimes H_2\) 的演化（依据 Schrödingerization 技术论文 §3.1，另见微分方程章 §5）。本实现把辅助坐标保留为量子寄存器，最终选择一个 \(p\) 通道读出物理解。

接口与输入模型

schrodinger_qode(generator, initial, time, *, plan=None,
                 hamiltonian_function=taylor_hamiltonian)
SchrodingerPlan(auxiliary_width=2, period=8.0, selected_index=1)
fourier_momentum(width, period)

API 入口：schrodinger_qode、SchrodingerPlan、fourier_momentum

  • generator：\(G\) 的 BlockEncoding（input model 为 BE），\(H_1=(G+G^\dagger)/2\)、\(H_2=(G-G^\dagger)/(2i)\) 由 HermitianParts.from_operator 生成。

  • initial：StatePreparation（SP），作用在物理寄存器。

  • SchrodingerPlan：辅助寄存器位数 auxiliary_width（1..63）、周期 period 与选中通道 selected_index（\(0..2^p-1\)）。

  • hamiltonian_function：(K, t) -> BlockEncoding，默认 taylor_hamiltonian。

  • fourier_momentum(width, period)：频率对角算子 \(P\) 的独立构造入口。

返回 StateOracle（target/signal），模块属性：

属性

含义

algorithm

"schrodingerization_qode"

auxiliary_grid

辅助网格坐标的 JSON 表

selected_p / recovery_scale

选中通道的 \(p_j\) 与 \(e^{p_j}\)

recovery_assumption

"selected p in valid warped region; periodic truncation pending"

实现要点

\(P\) 用 fourier_momentum 逐位构造：每位一个投影 BE（alpha 为 1），系数 \((2^b)\cdot 2\pi/\text{period}\)，最高位取负以实现二补码负频率，再 LCU 求和，避免稠密矩阵。寄存器布局为 target = 物理 n 位（低）+ 辅助 p 位（高），work 承载初态制备的工作位。

生成流程：初态作用在 target[:n]；辅助位制备归一化的 \(e^{-|p_j|}\)（gate_state_prep）后做 QFT；对 \(K=P\otimes H_1-I\otimes H_2\) 调用 hamiltonian_function；逆 QFT 后用 select_subspace 选辅助寄存器等于 selected_index 的通道，选择条件并入 signal。辅助网格按编码顺序 \(p_j=(j\) 若 \(j<2^{p-1}\) 否则 \(j-2^p)\cdot\text{period}/2^p\)；默认配置 \(p=2\)、period 8、index 1 对应网格 \([0,2,-4,-2]\)、选中 \(p=2\)。

适用边界：实现不自动检验所选通道位于恢复区，也不保证周期窗口足够大（需按 \(H_1\) 的传播速度、时间与周期边界选择窗口与通道，不能仅以 \(p>0\) 为充分条件）。recovery_scale 只记录 warp 的一个因子；理想恢复关系下成功块约为 \(e^{-p_j}|u(t)\rangle/(rZ\alpha_E)\)（\(r\) 为初值范数、\(Z\) 为离散 warp 范数、\(\alpha_E\) 为演化 BE 归一化），完整范数恢复接口尚未提供，这些量需宿主自行保存。入口处先执行 operator_state_contract("schrodingerization") 的能力检查。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_differential.py:DifferentialStructureTests.test_four_methods_keep_input_oracles 的 schrodingerization 子测试——抽象 BE/SP 输入下开放槽（input_A/input_b）保留、algorithm 属性正确、RIR 序列化往返。

  • 数值：tests/core/test_differential.py 定位为结构测试；Fourier 正负号约定、有限网格与恢复区的整体数值验证仍待完成（见已知缺口）。

  • 绑定：同类注册与契约检查——入口契约经 operator_state_contract 强制，协议级假设（辅助窗口、Fourier 约定、恢复区域需应用层验证）由 QODEProtocol.contract 记录（见 QODE 问题对象与协议）。

已知缺口与计划阶段

统一的"解析可解 ODE 族"收敛基准缺失，归入阶段 V2 的收敛性扫描框架；与 validation-coverage.md 的 schrodingerization.py 行一致。辅助窗口与恢复区域的数值验证按协议 assumptions 属应用层责任，当前未自动化。

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_ode.py（ode 组，本文件覆盖 schrodingerization.py 的部分）。经典参考全部独立：numpy 全堆叠仿真（warp→正号 DFT→截断 Taylor 或精确 expm 演化→逆 DFT→通道选择）、解析解（\(e^{-t}\) 衰减、解析旋转矩阵）；量子程序在真实后端 reference 与 OriginIR-ext 上执行（嵌套 LCU 的 \(8^{\text{degree}}\) 分支标度使 pysparq 系路径超出预算，案例中注明）。

实验设计：(a) 动量块——fourier_momentum(2, 8.0) 的零信号块对二补码有符号频率对角矩阵（幺正 to_matrix + reference 交叉）；(b) 标量衰减 \(G=-I\)、plan(auxiliary_width=2, period=1.2, selected_index=1)（\(\Delta p=t\) 使网格平移逐点精确）、Taylor degree 4、\(t=0.3\)：组装保真度、恢复幅值与误差分解；(c) 独立重组装——验证脚本内用公开组合子组装 \(K'=-P\otimes H_1-I\otimes H_2\)（修复后的库约定）的同构真实量子程序，作为符号约定的回归钉；(d) 旋转生成元 \(G=J\)（\(H_1=0\)，纯 \(H_2\)）对解析旋转的恢复。

关键指标：

案例

规模

路径

指标

数值

fourier-momentum-block

4 量子位

originir+to_matrix、reference

动量块最大偏差

2.2e-16

schrodingerization-scalar-decay-grid

21 量子位

reference、originir

组装保真度（对 \(K'\) 全堆叠仿真）

2.0e-18

同上

恢复幅值对 \(e^{-t}u_0\)（正向流）的精确演化网格误差

1.3e-16

同上

对 \(e^{+t}u_0\)（时间反演）的失配（方向性证据）

0.43

同上

端到端恢复误差（Nyquist 模 Taylor 余项）

3.3e-2

schrodingerization-sign-flipped-degree2/4

同上

reference

独立重组装实现误差 / 网格误差

8.8e-18 / 1.3e-16

同上

量子恢复误差（Nyquist 模 Taylor 余项，随阶数下降）

9.1e-2 → 3.3e-2

schrodingerization-rotation-recovery

同上

reference

实现误差 / 恢复误差

9.3e-19 / 1.5e-5

符号约定的发现与修复：历史版本装配 \(K=P\otimes H_1-I\otimes H_2\)，配合正号 DFT 约定给出的 warp 传输方向与恢复关系相反——恢复幅值精确拟合时间反演解（对 \(e^{+t}u_0\) 拟合 4.8e-16、对 \(e^{-t}u_0\) 失配 0.43，互为决定性证据）。验证轮据此把库内生成元的动量项符号修复为 \(K'=-P\otimes H_1-I\otimes H_2\)：同一网格上精确演化的恢复误差降到 1.3e-16，证明符号是唯一结构性失配；库现以 \(K'\) 为约定，并由"独立重组装与库程序逐振幅一致"的回归案例钉住（防回退）。纯 \(H_2\) 生成元（旋转案例）不受该项符号影响，端到端恢复误差 1.5e-5。端到端残余误差是 Nyquist 动量模（相位 \(\pi\)）的 Taylor 截断，随阶数下降（degree 2→4：9.1e-2→3.3e-2），属于可替换 hamiltonian_function 协议的方法误差。

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_ode.py

产物：out/verification/ode.json（schrodingerization-* 与 fourier-momentum-block 共 6 个案例）。

相关链接