纯化访问（Purification Access）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.input_model.density · 阶段 V1

概述

密度矩阵（DM）input model 的核心抽象是纯化访问：对密度矩阵 \(\rho\) 的访问定义为制备其纯化态的量子操作 \(U\)，\(U|0\rangle = |\psi_\rho\rangle\) 作用在 system 与 environment 两个寄存器上，且对环境取偏迹后

\[ \operatorname{Tr}_{\mathrm{env}} |\psi_\rho\rangle\langle\psi_\rho| = \rho . \]

任何密度矩阵都存在 environment 与 system 等宽的纯化，因此该视图是下游算法（B2 量子 SDP、Gibbs 态制备）依赖的稳定接口。模块按仓库的三层范式给出三种构造：abstract 开放声明、gate 显式小矩阵见证、纯态适配。

接口与输入模型

abstract_purification(name, width, environment_width=None, *, reversible=True)
gate_purification(rho, *, name=None)
maximally_mixed_purification(width, *, name=None)
PurificationAccess.from_state_preparation(preparation)

API 入口：abstract_purification、gate_purification、maximally_mixed_purification

  • abstract_purification：开放声明一个纯化访问槽（input model 为 DM 的 abstract 层），environment_width 缺省取 width；经 linking.bind 绑定见证实现后程序闭合。

  • gate_purification：显式小密度矩阵的 gate 见证。rho 必须是维度为 2..16 内二的幂、迹为 1 的 Hermitian 半正定矩阵。

  • maximally_mixed_purification：最大混合态 \(I/2^n\) 的纯化生成器（\(n\) 对 Bell 对，宽度 ≤ 32）。

  • from_state_preparation：纯态即平凡纯化，把 work 复净的 StatePreparation 适配为纯化访问（work 扮演 environment）。

四个入口均返回 PurificationAccess（oracle_kind = "purification_access"，操作签名为 ("system", "environment")）。模块属性与属性：

属性

含义

width / environment_width

system / environment 寄存器宽度

operation

底层的 Operation，模块属性含 density_model="purification_access"、zero_input=True

as_state_preparation()

整体视为 system⊕environment 上的 StatePreparation（供 B2 组合）

describe()

oracle 描述（main_qubit=width、anc_qubit=environment_width）

配套经典小矩阵工具：partial_trace（偏迹）、trace_distance（迹距离 \(T(\rho,\sigma) = \lVert\rho-\sigma\rVert_1/2\)）、gibbs_state（经典参考 Gibbs 态）。

实现要点

gate 见证先对 \(\rho\) 做循环 Jacobi 特征分解 \(\rho = \sum_j p_j |v_j\rangle\langle v_j|\)（复 Hermitian 矩阵，先对角相位旋转再实 Jacobi 消元，特征值降序），再取纯化态 \(|\psi_\rho\rangle = \sum_j \sqrt{p_j}\,|v_j\rangle_{\mathrm{s}} |j\rangle_{\mathrm{e}}\)，其幅度向量经 gate_state_prep 的多重旋转树在拼接寄存器上制备；基态下标约定为 system | (environment << system_width)。半正定性在生成期校验，负特征值低于 \(-10^{-7}\) 时抛 INPUT_PROMISE 失败。

maximally_mixed_purification 逐位施加 H 与 CNOT 生成 \(n\) 对 \(|\Phi^+\rangle\)；from_state_preparation 依赖制备契约的 clean_work=True 承诺，未承诺时拒绝适配。适用边界：gate 见证仅支持不超过 16 维的小密度矩阵（验证用小实例），大规模 DM 输入需自行提供 abstract_purification 声明的实现并绑定。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：偏迹后的约化密度矩阵须与目标 \(\rho\) 在容差内一致。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_density.py:PurificationTests 各用例的宽度与属性断言（如 test_gate_purification_recovers_rho 校验 access.width == 1）；GibbsTests.test_invalid_inputs_fail_at_generation 覆盖 gate_purification 的迹不为 1、非 Hermitian、维度非法，以及 maximally_mixed_purification(0)、partial_trace 长度不符、trace_distance 维度不一致等违例。

  • 数值：PurificationTests.test_gate_purification_recovers_rho 模拟后对 environment 取偏迹与 2×2 混合态 RHO 逐元对拍（places = 7）；test_maximally_mixed_purification 对拍 \(I/4\) 并校验 Schmidt 结构（非零幅度仅出现在 system == environment 基态）；test_pure_state_adapter 对拍纯态 \(\sqrt{0.3}|0\rangle + \sqrt{0.7}|1\rangle\) 的约化矩阵；test_classical_tools 校验 gibbs_state 与 trace_distance 的解析值（places = 12）。

  • 绑定：PurificationTests.test_abstract_purification_binds——abstract 声明经 bind 绑定 gate_purification 见证后偏迹仍回到 RHO，覆盖 abstract / gate 两层一致性。

已知缺口与计划阶段

无已知缺口，阶段 V1 见证已齐（偏迹对拍 + Schmidt 结构 + 绑定一致性）。

相关链接

数值验证

本节结果由 tests/verification/verify_stateprep.py 在真实后端上跑出（reference、rir-pysparq、adapter-pysparq、originir-ext + UniQC 四条独立路径）。

实验设计（5 个案例）：对每条路径制备出的纯化态，用 numpy 独立实现的偏迹（不调用本模块的 partial_trace / trace_distance）计算 system 约化密度矩阵，再以差矩阵特征值给出迹距离 \(T(\rho_{\text{sim}}, \rho)\) 与逐元误差。实例：2×2 复 Hermitian 混合态（非对角元含虚部）、4×4 与 16×16 高斯随机密度矩阵（\(G^\dagger G\) 归一化，确定性种子）、最大混合态 \(I/8\) 的 3 对 Bell 纯化（附带 Schmidt 结构检查：非零幅度仅出现在 system == environment 基态）、以及 from_state_preparation 纯态适配（约化矩阵应等于 \(|\psi\rangle\langle\psi|\)）。

关键指标：

案例

规模（system+environment）

路径

trace_distance

max_element_error

purification-gate-rho2

1+1 qubit

四路径

1.1e-16

1.1e-16

purification-gate-rho4

2+2 qubit

四路径

3.2e-11

1.9e-11

purification-gate-rho16

4+4 qubit

四路径

8.9e-11

1.4e-11

purification-bell-w3

3+3 qubit

四路径

2.2e-16

5.6e-17

purification-pure-adapter

1+0 qubit

四路径

8.3e-17

1.1e-16

4×4 与 16×16 案例的残差（~1e-10）来自生成期循环 Jacobi 特征分解（容差 1e-13）的方法误差而非执行误差——后端之间两两偏差处于机器精度量级；Bell 纯化的 off_schmidt_probability 为 0，确认 Schmidt 结构。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_stateprep.py

产物路径：out/verification/stateprep.json。