QSVT 哈密顿模拟（QSVT Hamiltonian Simulation）¶

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.common.qsvt · 阶段 V2

概述¶

对厄米矩阵 \(A\) 的块编码构造 \(e^{itA/\alpha}\) 的块编码（\(\alpha\) 为输入 BE 归一化）。实现依据 QSVT 框架（Gilyén et al. 2019, arXiv:1806.01838，模块 docstring 引用）与 \(e^{itx}\) 的 Jacobi–Anger 展开 \(e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx)\)：偶支近似 \(\cos(tx)\)、奇支近似 \(\sin(tx)\)，两支分别经 QSP 相位合成（见 QSP 相位合成），各用 \((U_\Phi + U_{-\Phi})/2\) 提取实部，最后按系数 1 与 \(i\) 做 LCU 组合。返回 BE 的零信号块约为 \(e^{itA/\alpha}/\text{sim\_scale}\)。

接口与输入模型¶

qsvt_hamiltonian_simulation(a, t, *, error=0.01)

API 入口：qsvt_hamiltonian_simulation

a：BlockEncoding，被模拟哈密顿量的块编码（input model 为 BE）。
t：演化时间，必须是非零有限实数。
error：多项式近似误差，必须在 \((0, 1)\) 内。

返回 BlockEncoding。模块属性：

属性	含义
`algorithm`	`"qsvt_hamiltonian_simulation"`
`be_alpha`	输出 BE 的归一化（1 与 \(i\) 两支 LCU，为 2.0）
`time` / `error`	调用参数回显
`qsp_degree`	Bessel 截断度数 \(K\)（两支实际合成度数为不超过 \(K\) 的偶 / 奇度数）
`sim_scale`	输出缩放 \(2s\)（零信号块约为 \(e^{itA/\alpha}/\text{sim\_scale}\)）

实现要点¶

截断度数自适应：\(J_k(t)\) 用幂级数（纯 Python）计算，\(K\) 取 Bessel 尾项绝对值之和不超过 error/4 的最小度数，上界封顶 40。两支统一缩放 \(s = 1.5\max(\lVert f_c\rVert_\infty, \lVert f_s\rVert_\infty, 10^{-3})\)，为虚部补全留出余量，\(\text{sim\_scale} = 2s\)。奇偶性校验（cos 支为偶函数、sin 支为奇函数）违例抛 ValidationError；虚部补全候选族（cos 支为常数加单偶次幂、sin 支为单奇次幂）逐个尝试，取首个可合成的候选。

适用边界：\(t = 0\) 被拒绝（平凡情形）；\(|t|\) 很大时所需截断度数会先于误差条件触及 40 上限，此时 error 界可能不被满足而不报错，调用方需自行核对。输出以 sim_scale 缩放，读出后需除回。

验证方案¶

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../../development/validation-plan.md §2）：作用算子需在容差内逼近目标连续函数。三层证据：

结构：tests/core/test_qsvt.py:TransformWitnessTests.test_transform_input_validation（t = 0、error 越界等负例）与 PhaseSynthesisTests.test_input_validation（底层合成的输入校验）。
数值：tests/core/test_qsvt.py:TransformWitnessTests.test_hamiltonian_simulation_block——2×2 对角矩阵（本征值 0.5、\(-0.25\)，\(\alpha = 0.5\)，谱变量 1.0 与 \(-0.5\)），t = 0.7、error = 0.01，逐列读出零信号块幅度与 \(e^{itx}/\text{sim\_scale}\) 对拍，delta = 5e-4。
绑定：本算法无独立绑定见证（输入已要求具体 BE）。

已知缺口与计划阶段¶

与验证覆盖矩阵 qsvt.py 行一致：收敛性扫描缺失（误差随 t / 度数的批量曲线未自动化，待阶段 V2 的收敛性扫描框架接入）；病态负例（度数 ≳ 16 或精度过低）的参数化测试已通过 input_validation 局部覆盖，单独的"病态输入必须抛错"批量参数化待补。

数值验证¶

论文级数值实验见 tests/verification/verify_hamiltonian.py（真实后端执行，无模拟替身）。实验设计：输入 BE 为 matrix_pauli_encoding 编码的非对角厄米矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & -0.3 \end{pmatrix}\)（\(\alpha = 0.7\)），\(t \in \{0.7, 2.0\}\)、error = 0.01；在 reference / rir-pysparq / originir-ext 三条路径上逐列读出完整 \(2\times2\) 零信号块，与 scipy.linalg.expm 计算的 \(e^{itA/\alpha}/\text{sim\_scale}\) 对拍。实现误差（电路块 vs \(e^{itx}\) 参考）与方法误差（Jacobi–Anger 截断尾部上界 \(2\sum_{j>K}|J_j(t)|\)，由 scipy.special.jv 独立求值）分列报告。

案例	规模	后端路径	指标	数值
`qsvt-hamsim-t0.7`	\(K = 4\)，sim_scale ≈ 3.0	reference、rir-pysparq、originir-ext	impl_error	2.72e-5
同上	—	—	方法尾部上界 / 总误差界	9.10e-5 / 1.18e-4
`qsvt-hamsim-t2.0`	\(K = 6\)	reference、rir-pysparq、originir-ext	impl_error	5.42e-5
同上	—	—	方法尾部上界 / 总误差界	4.00e-4 / 4.54e-4

两个时间点上的总误差界（1.2e-4 与 4.5e-4）均远小于请求的 error = 0.01，且实现误差显著低于方法误差，表明截断度数选择是精度的主导项、相位合成与电路组装处于噪声量级。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_hamiltonian.py

产物：out/verification/hamiltonian.json。