PREPARE–SELECT 分解（PREPARE–SELECT Decomposition）

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类别 C5/C1 · 模块 oracq.algorithms.common.prepare_select · 阶段 V4

概述

LCU 分解 \(H = \sum_i c_i P_i\) 的块编码标准组装（Low & Chuang 2019；Babbush et al. 2018，模块 docstring 引用；input model 词汇中的 BE / HAM）：

\[ \mathrm{BE} = (\mathrm{PREPARE}^\dagger \otimes I)\cdot \mathrm{SELECT}\cdot(\mathrm{PREPARE} \otimes I), \qquad \alpha = \sum_i |c_i| . \]

PREPARE 在 selector 寄存器上制备振幅 \(\propto \sqrt{|c_i|}\) 的态，SELECT 按 selector 值对 target 施加第 \(i\) 个 Pauli 字。系数相位按仓库惯例进 SELECT（经 global_phase 施加），PREPARE 只编码模长。本页覆盖通用分解与 gate / QRAM / abstract 三层 PREPARE；alias 采样路线单独成页（见 Alias 采样制备）。

接口与输入模型

abstract_prepare(coefficients, *, work_width=0, name=None)
gate_prepare(coefficients, *, name=None)
qram_prepare(coefficients, *, angle_width=8)
select_pauli(terms)
lcu_prepare_select(terms, *, prepare=None)

API 入口：abstract_prepare、gate_prepare、qram_prepare、select_pauli

• coefficients：至少两个有限复系数、不全为零（单项请直接用 scale）。

• abstract_prepare：开放声明，系数写入声明属性，work_width 须与后续绑定实现的 work 宽度一致（gate 为 0，QRAM 为 selector 位宽加角度位宽）。

• qram_prepare：返回 QramPreparation(preparation, memory)，角表 memory = {"angles": ...} 由调用方作为 QRAM 数据绑定（angle_width 2..32）。

• select_pauli / lcu_prepare_select 的 terms：(系数, Pauli 字) 序列或 PauliHamiltonian；字仅允许 IXYZ 且各项等宽，SELECT 至少两项。

• lcu_prepare_select：prepare 缺省 gate_prepare，也可传 abstract / QRAM / alias 句柄（经 as_state_preparation 适配）；单项退化为 scale(c, pauli_word)。

返回对象属性：

对象	属性
PREPARE 各版（StatePreparation）	width = selector 位宽；模块属性 prepare_terms / prepare_alpha / selector_width
select_pauli（Operation）	寄存器 selector / target；属性 algorithm="select_pauli"、select_terms、selector_width
lcu_prepare_select（BlockEncoding）	be_alpha = α；属性 be_form="prepare_select"、lcu_terms、selector_width、prepare_work

实现要点

gate 版直接复用 gate_state_prep 的多路复用 Ry 旋转树（幅度 \(\sqrt{|c_i|/\alpha}\) 补零到 \(2^{\text{selector}}\)）；QRAM 版复用 qram_state_prep 旋转树，角表由 qram_state_angles 生成。块编码的 signal 寄存器布局：低 selector_width 位是 selector，高位是 PREPARE 的 work（alias 版为纯化 junk）；PREPARE 需满足 zero_input 契约且目标宽度与 selector 位宽一致，否则生成期拒绝。

SELECT 的控制条件按 selector 二进制值用 RIR Control 原语表达；需要一元迭代时由后端把多比特控制降级实现，生成阶段不展开。产物可直接交给 transforms.qubitization_walk。适用边界：gate PREPARE 门数随项数指数增长；QRAM 版有角表量化误差（分布对拍容差 0.02）。

验证方案

类别 C5/C1：PREPARE / SELECT oracle 属数据访问层（C5），块编码组装的 (0,0) 块按 C1 与稠密矩阵逐点对拍（判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）。三层证据位于 tests/core/test_prepare_select.py:PrepareSelectTests（4 项测试哈密顿量 TERMS，α = 2.2）：

• 结构：test_gate_and_qram_prepare_bindings_agree 的声明与槽位断言；test_pauli_hamiltonian_input_and_single_term_shortcut（PauliHamiltonian 输入、单项 scale 捷径）；test_bad_inputs_fail_at_generation（单项 / 全零 / 非有限系数、SELECT 项数与字宽与字母违例、PREPARE 宽度不匹配等生成期拒绝）。

• 数值：test_select_applies_indexed_pauli_word_with_phase——SELECT 逐 selector 值与稠密 Pauli 矩阵 × 系数相位逐元对拍（places = 11）；test_block_encoding_recovers_hamiltonian_over_alpha——BE 的 (0,0) 块乘 α 后与稠密哈密顿量对拍（places = 10，经 witness.assert_block_equals）；test_qram_prepare_block_encoding_approaches_hamiltonian（QRAM PREPARE 版 delta = 0.02）；test_qubitization_walk_composition（直接接 qubitization_walk，signal = 0 块 = H/α，places = 10）。

• 绑定：test_gate_and_qram_prepare_bindings_agree——gate 版 selector 幅度与 \(\sqrt{|c|/\alpha}\) 对拍（places = 11），abstract 槽经 bind 绑定 gate 实现后分布精确不变，QRAM 绑定经 Binding 挂角表后幅度对拍（delta = 0.02）；abstract → gate 在块编码内部的绑定由 test_abstract_prepare_binds_inside_block_encoding 覆盖（绑定后块不变，places = 10）。

已知缺口与计划阶段

模块级缺口集中在 alias 路线（见 Alias 采样制备）；此外统一的三绑定一致性参数化（同一声明逐绑定对拍，oracles / prepare_select / graph_walks / data_loading 铺开）待 V4，现有 gate / QRAM / abstract 各自独立见证。与 validation-coverage.md 的 prepare_select.py 行一致。

相关链接

• 源码：src/oracq/algorithms/common/prepare_select.py

• 同组页面：Alias 采样制备、态制备 Oracle、XOR 数据库

• API 参考：PREPARE-SELECT 分解

• 概念：Oracle 与算子表示

• 验证矩阵：验证覆盖矩阵

数值验证

论文级数值验证脚本：tests/verification/verify_blockencoding.py（真实后端执行，无 mock、无 skip；2026-09-16 共 73 个案例全部通过），产物 out/verification/blockencoding.json。本页对应 gate-prepare-*、select-pauli-*、lcu-prepare-select-*、qram-prepare-*、alias-prepare-*、abstract-prepare-* 共 12 个案例。

实验设计：

1. gate PREPARE 的 selector 振幅与 \(\sqrt{|c_i|/\alpha}\) 逐点对拍（4 项与 5 项补零两组，补零槽位振幅须为零），reference / rir-pysparq / adapter-pysparq 三路径交叉；

2. select_pauli 逐 selector 值读出末态，与 \(e^{i\varphi_i}P_i\) 的稠密矩阵逐元对拍；

3. lcu_prepare_select 的 (0,0) 块乘 α 后与 numpy 独立组装的 \(\sum_i c_i P_i\) 对拍：w1 两项、w2 实/复系数、w3 六项多规模，w1/w2 另走 OriginIR-ext + UniQC to_matrix 全幺正提取；

4. QRAM PREPARE 的角表量化：angle_width 8→12 的 TVD 收敛（reference 与 rir 逐振幅一致）；

5. alias 采样 PREPARE：target 边缘分布 TVD 对照解析界 \(2^{\text{selector}}\cdot 2^{-\text{precision}}\)，alias 版 PREPARE–SELECT 块编码的块误差同界控制；

6. 开放声明 abstract_prepare 经 bind 在块编码内部绑定 gate 实现后，块与直接组装逐振幅一致。

案例	规模	后端路径	指标	数值
gate-prepare-distribution-terms4	4 项，selector 2	三路径	最大振幅误差	0
gate-prepare-distribution-terms5-padded	5 项（补 3 零槽）	三路径	最大振幅误差	1.1e-16
select-pauli-indexed-words	4 项（含复相位 0.2j）	reference	max_error	0
lcu-prepare-select-block-w1-balanced	1 位 2 项，α=1.4	to_matrix + 三路径	max_error	3.5e-16
lcu-prepare-select-block-w2-mixed	2 位 3 项，α=2.2	to_matrix + 三路径	max_error	2.2e-16
lcu-prepare-select-block-w2-complex	2 位 4 项复系数，α=2.14	三路径	max_error	1.7e-16
lcu-prepare-select-block-w3-six-terms	3 位 6 项，α=2.35	三路径	max_error	2.3e-16
qram-prepare-quantization-a8 / -a12	4 项	reference + rir	TVD	4.9e-3 / 4.0e-4
alias-prepare-distribution-p6 / -p10	4 项	reference + rir	TVD（界 6.3e-2 / 3.9e-3）	3.9e-3 / 2.4e-4
alias-prepare-select-block	α=2.2，precision 10	reference + rir	块误差（界 3.9e-3）	3.9e-4
abstract-prepare-bind-in-be	3 项，α=2.2	reference	max_error / bind_deviation	2.2e-16 / 0

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_blockencoding.py

产物：out/verification/blockencoding.json。