LCHS 线性组合哈密顿模拟（Linear Combination of Hamiltonian Simulations）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.qode.lchs · 阶段 V2

概述

对自治齐次方程 \(u'=-Au\)、\(A=L+iH\) 且 \(L\succeq 0\)（不要求 \([L,H]=0\)），把非酉演化写成 Hermitian 演化的加权积分（LCHS 原文 Theorem 1，arXiv:2303.01029，另见微分方程章 §4）：

\[ e^{-At}=\int_{\mathbb R}\frac{e^{-it(H+kL)}}{\pi(1+k^2)}\,dk . \]

本实现用有限节点 \(\{k_j\}\) 与已含积分核的复权重 \(\{w_j\}\) 离散该积分，得到有限和 \(\widetilde V=\sum_j w_j\,e^{-it(H+k_jL)}\)，再以 LCU 组合各分支的哈密顿模拟。与通用接口 \(u'=Gu\) 的对齐方式是 \(A=-G\)（由 linear_qode 的路由完成，见 QODE 问题对象与协议）。

接口与输入模型

lchs_qode(model, time, *, plan=None, hamiltonian_function=taylor_hamiltonian)
QuadraturePlan(nodes, weights, kernel="user_supplied")
QuadraturePlan.cauchy(cutoff=2, spacing=1.0)

API 入口：lchs_qode、QuadraturePlan

  • model：LinearODE(HermitianParts(L, H), initial)，input model 为 ODE；parts.hermitian 存 \(L\)、parts.h 存 \(H\)，初态为 SP。

  • plan：节点为有限实数、权重为有限复数且不全为零、两者等长；cauchy 工厂生成节点 \(k=-J\cdot h,\dots,J\cdot h\) 与权重 \(w=h/[\pi(1+k^2)]\)，核标记 "finite_cauchy"。

  • hamiltonian_function：(K, t) -> BlockEncoding 的可替换协议，默认 taylor_hamiltonian（截断 Taylor 的非酉 BE）。

  • time：非负实数。

返回 StateOracle（target/signal），模块属性：

属性

含义

algorithm

"lchs_qode"

evolution_alpha

有限和 LCU 的归一化常数 $\sum_j

branch_count

求积节点数

quadrature_kernel / quadrature_nodes

计划核名与 JSON 节点表

input_assumption

"L>=0; autonomous; homogeneous"

remainder

"finite quadrature pending"

实现要点

逐节点构造 \(K_j = H + k_j L\)（lcu([(1, parts.h), (k_j, parts.hermitian)])，零系数项由 lcu 自动剔除，\(\alpha_{K_j}=\alpha_H+|k_j|\,\alpha_L\)），交给 hamiltonian_function 得到近似演化 \(E_j\) 的 BE（必须保留 alpha），再把 \(\{(w_j, E_j)\}\) 用 lcu 组合成 \(\widetilde V\) 并经 apply_be_to_state 作用到初态。寄存器布局继承输入 oracle：target 宽度即 \(L/H\) 宽度，signal 为 LCU 选择位与各分支信号位的拼接。成功子空间为 signal 全零，读出的是归一化方向 \(\widetilde V|u_0\rangle/\alpha_V\)；物理幅值还含初值范数，协议不自动恢复。

适用边界：\(L\succeq 0\)、自治、齐次均为输入声明；remainder 明示有限求和没有尾积分保证，不要把权重强行归一化后仍称为同一个近似算子。原文的时间依赖与非齐次结果不在当前接口内。求解前由 operator_state_contract 检查 \(L\)、\(H\) 两个 BE 与初态的能力契约。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：作用算子需在容差内逼近目标连续函数。tests/core/test_differential.py 定位为结构与开放输入差异测试（见其 docstring），数值对拍目前由输入模型侧承担。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_differential.py:DifferentialStructureTests.test_four_methods_keep_input_oracles 的 lchs 子测试——抽象 BE/SP 输入下开放槽（input_A/input_b）保留、algorithm 属性正确、RIR 序列化往返。

  • 数值：tests/core/test_sde.py:SolverContractTests.test_qode_problem_accepted_by_lchs——4 点 OU 网格的 QODEProblem（QuadraturePlan.cauchy(cutoff=0)、Taylor 1 阶）经 linear_qode("lchs") 的 check/solve 全链路，输出宽度与耗散声明透传正确、序列化往返。

  • 绑定：同类注册与契约检查；FokkerPlanckProblem.qode_problem 即以本协议为消费方（见 Fokker–Planck 输入模型）。

已知缺口与计划阶段

统一的"解析可解 ODE 族"收敛基准缺失：同一解析可解问题过全部 ODE 求解器的批量对拍未建立，归入阶段 V2 的收敛性扫描框架；与 validation-coverage.md 的 lchs.py 行一致。

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_ode.py（ode 组，本文件覆盖 lchs.py 与 _dynamics.py 组装骨架的部分）。经典参考全部独立：numpy 逐分支 \(K_j=H+k_jL\) 截断 Taylor 求和、scipy.linalg.expm 精确解、解析解（\(e^{-t}\)、热方程 Fourier 特征值）、sde.matrix_exponential 纯 Python 矩阵指数互证；量子程序在真实后端 reference、rir-pysparq、adapter-pysparq、OriginIR-ext 上执行。实现误差（量子后选择块对独立仿真）与方法误差（有限求积+Taylor 余项对精确解，库中标注 pending）分开报告。

实验设计：\(u'=-Au\)、\(A=L+iH\) 五类输入模型的端到端对拍（plan 均 QuadraturePlan.cauchy(cutoff=2, spacing=1.0)）：(1) 整体 \(G=-I\) 的 BE（解析解）；(2) 直接 Hermitian parts（\([L,H]\neq0\) 的 \(2\times2\) 矩阵，Pauli 展开 BE）；(3) 对角谱角数据库 \(A=\mathrm{diag}(1,\cos\pi/4)\)，同一开放 RIR 分别绑定 gate 表与 QRAM 表；(4) Fokker–Planck OU 4 点零通量离散生成元（Pauli 展开）经 QODEProblem.solve（Boltzmann 根振幅初态）；(5) 周期 4 点热方程的结构化移位差分 BE。另有求积收敛扫描（标量 \(L=I\)，cutoff 2/8 量子 + 2..32 经典核趋势线）。

关键指标：

案例

规模

路径

指标

数值

lchs-given-be-scalar-decay

7 量子位

四路径

实现误差 / 方法误差

1.2e-16 / 1.2e-2

lchs-given-parts-noncommuting

15 量子位

三路径

实现误差 / 方法误差

1.1e-16 / 7.3e-2

lchs-diagonal-spectral-gate / -qram

2×程序

reference

实现误差（两者） / gate-QRAM 振幅差

5.8e-17 / 0.0

lchs-fokker-planck-ou

16 量子位

reference、originir

实现误差 / 方法误差 / 经典参考互证

1.1e-16 / 7.9e-2 / 1.1e-16

lchs-heat-structured-stencil

15 量子位

reference、originir

实现误差 / 方法误差 / Fourier-expm 互证

1.7e-17 / 0.19 / 1.4e-17

lchs-quadrature-scan

cutoff 2 / 8

reference

实现误差

5.6e-17 / 1.1e-16

lchs-quadrature-kernel-trend

cutoff 2→32

经典核求积

核求积误差

7.1e-2→3.7e-3（含振荡尾部）

成功概率（信号全零子空间）与经典值一致（偏差 < 1e-16）。方法误差为 Cauchy 求积余项：截断 \(K_{\max}\) 与步长 \(h\) 的尾部分别呈 \(O(1/K_{\max})\) 振荡下降与混叠地板 \(2e^{-(2\pi/h-\lambda t)}\)；深嵌套 LCU 程序上 pysparq 两实现对 junk 分支有约 1e-7 数值地板（物理块不受影响，见组报告）。

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_ode.py

产物：out/verification/ode.json（lchs-* 共 12 个案例）。

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