Trotter 乘积公式模拟（Trotter Product-Formula Simulation）

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类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.common.hamiltonian · 阶段 V2

概述

给定 Pauli 分解 \(H = \sum_j c_j P_j\)（各 \(P_j\) 为同宽 Pauli 词），用一阶乘积公式模拟 \(e^{-iHt}\)：

\[ e^{-iHt} \approx \left(\prod_j e^{-i c_j P_j\, t / r}\right)^{r}, \]

重复步数 \(r\) 越大，乘积公式误差越小。单项 \(e^{-i\theta P}\) 经基变换化为计算基上的相位旋转：对 \(P\) 的非恒等位做基变换（X 位加 H，Y 位先加相位门 \(-\pi/2\) 再加 H），用 CNOT 链把激活位的奇偶折叠到末位，对末位施加相位旋转后逆序复原。

接口与输入模型

trotter_hamsim(terms, final_time, *, steps=2)

API 入口：trotter_hamsim

  • terms：((coefficient, word), ...) 序列，coefficient 为实数（内部经 float 转换），word 为同宽 I/X/Y/Z 字符串；input model 为 HAM（Pauli 项分解）。

  • final_time：总演化时间 \(t\)（有限实数）。

  • steps：重复步数 \(r\)，正整数，默认 2。

返回 Operation（裸操作而非 BlockEncoding），寄存器为 target = Bits(width)、signal = Bits(0)——演化是无需后选择的确切酉。模块属性：

属性

含义

algorithm

"trotter_hamsim"

validation_stage

"paradigm"

生成期校验：terms 为空或 steps < 1、各 Pauli 词宽度不一致时抛出 ValidationError。全 I 的项不消耗量子比特，退化为全局相位 \(e^{-i c_j t / r}\)。

实现要点

电路主体是单个 Repeat(steps) 块，块内按输入顺序逐项演化；不在生成阶段展开，文本序列化与后端降低保留 Repeat 结构。每项按"基变换 → CNOT 链 → 末位相位旋转 → 复原"生成：CNOT 链只覆盖非 I 位，末位旋转角为 \(2 c_j t / r\)（rz(θ) 按 \(e^{-i\theta Z/2}\) 约定，乘 2 后恰好实现 \(e^{-i\theta Z^{\otimes k}}\) 型的相位）。

适用边界：只接受 Pauli 词分解，不做高阶 Suzuki 编排（更高阶公式需调用方自行重排 terms 并配合更大 steps）；系数经 float() 转换，复系数直接报错。协议层入口见哈密顿量模拟协议，它把任意可 Trotter 化算子的单项演化路由回本函数（PauliOperator.evolution 即以 steps=1 调用本函数）。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）。与验证覆盖矩阵 hamiltonian.py 行一致，三层证据：

  • 结构：tests/core/test_algorithm_protocols.py:AlgorithmProtocolTests.test_trotter_protocol_keeps_phase_and_repeat 钉死 Repeat 结构（模块 body 首块 count == steps）；test_trotter_validates_each_term 覆盖项级校验（TrotterTerm 拒绝非 Evolvable 算子，宽度不一致的 PauliHamiltonian 拒绝构造）。

  • 数值：test_trotter_protocol_keeps_phase_and_repeat 对 \(H = 0.3I + 0.7X\)、\(t = 0.4\)、steps = 3 逐幅度对拍 \(e^{-0.12i}\bigl(\cos 0.28\,|0\rangle - i\sin 0.28\,|1\rangle\bigr)\)（places = 11），间接覆盖本函数生成的逐项阶段顺序；test_trotter_only_input_does_not_need_block_encoding 见证单项 Z 演化（系数 0.5、\(t = 0.2\)）输出 \(e^{-0.1i}\)。

  • 绑定：无独立绑定见证（输入是显式 Pauli 分解，不含抽象槽位）。

已知缺口与计划阶段

Trotter 阶数误差率扫描缺失：误差随 steps / \(\Delta t\) 变化的批量曲线未自动化，待阶段 V2 的收敛性扫描框架（validation-plan §5）落地后接入；当前数值见证只在单一参数点上对拍解析值。

相关链接

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_hamiltonian.py（真实后端执行，无模拟替身；27 案例全 PASS，总耗时约 28 s）。实验设计：单项 Pauli 演化（10 个实例，含 Y 基变换、2–4 量子位 CNOT 链、恒等项全局相位、负时间）经 OriginIR-ext 导出并由 UniQC Circuit.to_matrix 提取全幺正，与独立闭式 \(\cos(ct)I - i\sin(ct)P\) 逐元素对拍；多项非对易分解（1–4 量子位，steps ∈ {1,2,3,5}，t ∈ {0.4, −0.7, 0.9, 1.3}）与乘积公式经典矩阵 \(\bigl(\prod_j e^{-ic_jP_jt/r}\bigr)^r\) 对拍；3 量子位 TFIM 在均匀叠加输入下做四路径交叉对拍；收敛阶用 2 与 3 量子位 TFIM 在 \(t = 1.0\) 下扫 steps ∈ {1,…,64}，以 scipy.linalg.expm 为独立 oracle 取谱范数误差并做 log–log 拟合。UniQC to_matrix 会裁掉尾部无门量子位（Pauli 词尾随 I 的情形），验证脚本按恒等因子嵌回后对拍（见脚本 embed_unitary 注释）。

案例

规模

后端路径

指标

数值

trotter-single-term-exact

10 实例，1–4 量子位

originir-ext + UniQC to_matrix

max_error

4.4e-16

trotter-product-formula-1q

3 项（含恒等项），steps×t 网格

originir-ext + UniQC to_matrix

max_error

5.7e-16

trotter-product-formula-2q

4 项，steps ∈ {1,2,5}

originir-ext + UniQC to_matrix

max_error

1.5e-15

trotter-product-formula-3q

5 项 TFIM，steps ∈ {2,3}

originir-ext + UniQC to_matrix

max_error

1.4e-15

trotter-product-formula-4q

5 项，steps=3

originir-ext + UniQC to_matrix

max_error

1.7e-15

trotter-superposition-cross-3q

5 项 TFIM，steps=3，叠加穷举

reference、rir-pysparq、adapter-pysparq、originir-ext

max_deviation

1.2e-15

trotter-convergence-2q

\(t = 1.0\)，\(r\) = 1…64

originir-ext + UniQC to_matrix

拟合收敛阶（理论 1）

1.008（误差 0.7627 → 0.01049）

trotter-convergence-3q

\(t = 1.0\)，\(r\) = 1…32

originir-ext + UniQC to_matrix

拟合收敛阶（理论 1）

1.013（误差 1.0680 → 0.02809）

乘积公式语义验证到机器精度（≤ 1.7e-15），一阶 Lie–Trotter 的收敛阶拟合值 1.008 / 1.013 与理论值 1 一致，填补了本节原先"Trotter 阶数误差率扫描缺失"的缺口。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_hamiltonian.py

产物：out/verification/hamiltonian.json（含全部步数的误差序列与逐词误差）。