密度矩阵指数化（Density Matrix Exponentiation）

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类别 C3 · 模块 oracq.algorithms.qml.qpca · 阶段 V1

概述

给定密度矩阵 \(\rho\) 的拷贝供应，在系统寄存器上近似实现 \(e^{-i\rho t}\)。实现依据 Lloyd–Mohseni–Rebentrost 2014（"Quantum principal component analysis", Nature Physics 10, 631）的 LMR 协议：利用 SWAP 算符的本征值结构，对一份 \(\rho\) 拷贝与系统做部分交换 \(e^{-i\Delta t\cdot\mathrm{SWAP}}\)，丢弃拷贝后系统上的有效通道即 \(e^{-i\rho\Delta t}\) 的一阶近似，单步误差 \(O(\Delta t^2)\)；copies 份拷贝串联给出总时间 \(t = \mathrm{copies}\cdot\Delta t\)，一阶误差 \(O(t\cdot\Delta t)\) 随拷贝数线性下降。

该原语是 QPCA 主成分分析相位估计的酉步来源。

接口与输入模型

density_matrix_exponentiation(preparation, *, time, copies, swap_width=None, name=None)

API 入口：density_matrix_exponentiation

  • preparation：\(\rho\) 拷贝的态制备（StatePreparation），input model 为 SP + QRAM：纯态用 gate_state_prep(amplitudes)，混合态经 density.gate_purification(rho) 的 PurificationAccess.as_state_preparation() 适配（target = system ⊕ environment，零 work）；制备必须零 work，非零 work 在生成期抛 ValidationError。

  • time：总演化时间 \(t\)，必须为正的有限实数。

  • copies：拷贝数，范围 1..63；每步 \(\Delta t = t/\mathrm{copies}\)。

  • swap_width：参与交换的前缀位宽，缺省为制备的整个 target；纯化场景应取 \(\rho\) 的系统位宽，环境位留在拷贝中不参与交换（效果等同于取偏迹）。

返回 Operation，寄存器为 system（swap_width 位）与 copies（copies × 制备宽度）。系统的输入态由调用方准备；拷贝寄存器从全零由制备 oracle 填充。模块属性：

属性

含义

algorithm

"density_matrix_exponentiation"

copies

拷贝数

step_time

单步时长 \(\Delta t = t/\mathrm{copies}\)

error_scaling

"O(time * step_time)"（一阶误差标度）

reference

"Lloyd-Mohseni-Rebentrost 2014, Nature Physics 10, 631"

实现要点

部分交换按恒等式 \(\mathrm{XX}+\mathrm{YY}+\mathrm{ZZ} = 2\cdot\mathrm{SWAP} - I\) 精确分解：三个轴的 Pauli 对旋转 \(e^{-i(\Delta t/2)\,P\otimes P}\) 相互可交换、逐轴逐位施加；单轴旋转基于奇偶校验（XOR–Rz–XOR），\(y\) 轴经 \(R_x(\pi/2)\) 共轭切换基，\(I\) 分量以全局相位 \(-\Delta t/2\) 修正。

生成链为：第 \(k\) 份拷贝从全零由制备 oracle 填充 → system 与该拷贝的前 swap_width 位逐位施加角度 \(\Delta t\) 的部分交换。寄存器布局 system | copies，第 \(k\) 份拷贝占位段 \([k\cdot w, (k+1)\cdot w)\)（\(w\) 为制备宽度）。

设计决策：算法只要求拷贝可重复制备——多拷贝即对制备 oracle 的多次调用，\(\rho\) 的矩阵元素无需显式给出，这是 QRAM 系 QML 的资源前提。丢弃拷贝即对拷贝寄存器取偏迹，纯化的环境位保持纠缠留在拷贝中。适用边界：一阶近似，需要更高精度时增加 copies（减小 \(\Delta t\)），误差标度见 error_scaling 属性。

验证方案

类别 C3（概率分布语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：丢弃拷贝后的系统态须在迹距离上逼近闭式期望。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_qpca.py:QpcaTests.test_invalid_inputs_fail_at_generation 覆盖指数化入口的 time = 0、copies = 0、非 StatePreparation 输入等生成期违例。

  • 数值：test_small_step_first_order_accurate——\(\rho = |+\rangle\langle+|\)、单步 \(\Delta t = 0.05\) 作用在 \(|0\rangle\) 上，丢弃拷贝后与精确 \(e^{-it\,|+\rangle\langle+|}\) 作用的迹距离 \(< 0.6\cdot\Delta t^2\)（\(\Delta t\) 一阶收敛率，实测系数约 0.53）；test_error_halves_with_copies——固定总时间 \(t = 0.4\)、copies = 1, 2, 4，迹距离逐级下降且每级 \(< 0.6\times\) 前级（copies 翻倍即 \(\Delta t\) 减半，误差近似减半）。

  • 绑定：混合态的 DM 输入经 gate_purification(...).as_state_preparation() 适配为 SP 进入电路，由 QpcaTests.test_mixed_state_eigenvalue_via_purification 见证（见 QPCA 主成分分析）。

已知缺口与计划阶段

无已知缺口，阶段 V1 见证已齐（\(\Delta t\) 一阶率 + copies 翻倍误差减半标度 + 纯化适配路径）。按 validation-plan §5 的 V3 计划，QPCA 模块待登记 catalog 案例并接入真实后端对拍。

相关链接

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_misc_algorithms.py（misc_algorithms 组），全部在真实后端上执行。

实验设计：两个密度矩阵指数化案例——(a) 纯态 \(\rho = \lvert+\rangle\langle+\rvert\)（gate_state_prep，总时间 \(t = 0.4\)）；(b) 混合态 \(\rho = \mathrm{diag}(0.75, 0.25)\)（gate_purification 纯化适配、swap_width = 1，\(t = 0.5\)）。系统初态均为 \(\lvert 0\rangle\langle 0\rvert\)，拷贝数 copies = 1/2/4（最多 9 量子位）。经典预言机为 numpy 特征分解的精确演化 \(e^{-i\rho t}\sigma e^{i\rho t}\)（与被测实现完全独立）。后端路径：reference（内置参考执行器）、rir-pysparq（PySparQ 原生 RIR）、adapter-pysparq（PySparQ 适配器）、originir-ext（UniQC 全振幅态向量），逐振幅与偏迹后密度矩阵两级对拍。

关键指标：

案例

规模

路径

迹距离（copies = 1/2/4）

误差比率

跨后端偏差

dm-exponentiation-pure-convergence

t = 0.4，≤5 量子位

四路径全振幅对拍

8.55e-2 / 4.34e-2 / 2.20e-2

0.508 / 0.507

≤ 2.1e-16

dm-exponentiation-mixed-convergence

t = 0.5，≤9 量子位

四路径全振幅对拍

5.75e-2 / 2.97e-2 / 1.52e-2

0.516 / 0.512

≤ 3.3e-16

copies 翻倍（即 \(\Delta t\) 减半）时迹距离比率稳定在约 0.51，直接观测到 LMR 协议的一阶收敛标度 \(O(t\cdot\Delta t)\)；四条后端路径在机器精度内一致。

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_misc_algorithms.py

产物：out/verification/misc_algorithms.json（24 个案例全过，本页对应 dm-exponentiation-* 两个案例）。