Heinrich 量子积分（Heinrich Quantum Integration）

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类别 C3 · 模块 oracq.algorithms.common.integration · 阶段 V1

概述

估计一维定积分 \(\int_0^{L} f(x)\,dx\)：把区间均匀划分为 \(N\) 个网格点，函数值量化为 \(w\) 位非负整数，先以 Heinrich 量子求和估计网格均值 \(E[v]\)，再乘区间长度得到积分（复合矩形法则）。实现依据 Heinrich 2002（"Quantum Summation with an Application to Integration", J. Complexity 18(1)，另见 Novak 2001 的函数类量子求积率）。

积分估计是量子求和的直接组装：读出侧仍以比较器构造保证好状态概率对函数值严格线性，对标记做标准振幅估计，查询复杂度 \(O(1/\varepsilon)\)，相对经典 Monte Carlo 的 \(O(1/\varepsilon^2)\) 呈二次改进。求和原语本身的细节见 Heinrich 量子求和。

接口与输入模型

quantum_integral(database, *, precision=4, interval=1.0, name=None)

API 入口：quantum_integral

  • database：函数值加载器（XorDatabase，address = index、data = value），input model 为 FO + QRAM；通常由 table_loader(values, data_width=None, backend="gate"|"qram") 构造，函数值按 v/full_scale 量化（full_scale 缺省取 \(2^w - 1\)）。

  • precision：相位寄存器位数，范围 1..63；QAE 估计误差量级 \(O(1/2^{\text{precision}})\)。

  • interval：区间长度 \(L\)，必须为正的有限实数。

返回 Operation，寄存器为 target、work、phase（与 quantum_sum 相同）。读出 phase 后用 integral_from_phase(value, precision, data_width, interval=1.0, full_scale=None) 解码：积分估计 \(= E[v]/\text{full\_scale} \times L\)。模块属性：

属性

含义

algorithm

"quantum_integral"

readout_register / decoder

"phase" / "integral_from_phase"

interval

区间长度 \(L\) 回显

value_bits / index_bits

值字宽 \(w\) 与下标位数 \(n\)

query_complexity / classical_query_complexity

O(1/epsilon) / O(1/epsilon**2)

相关入口：heinrich_rate(smoothness, dimension) 给出函数类最优收敛率（确定性 \(s/d\)、随机化 \(s/d + 1/2\)、量子 \(s/d + 1\)），用于按网格规模估计离散化误差。

实现要点

quantum_integral 不生成新电路：它调用 quantum_sum 得到同一模块，仅把 algorithm、decoder 改写为积分版本并追加 interval 属性（经 dataclasses.replace 重建模块属性表）。因此生成链、寄存器布局（target = index(n) | threshold(w) | flag(1)，work = value(w)）与 Grover 迭代结构与求和完全一致。

设计决策：区间长度不进电路而只进解码器，避免在 IR 中引入浮点缩放；量化尺度 full_scale 同理留给 integral_from_phase，使同一电路可服务不同区间与量程的重解释。总误差 = 离散化误差（由网格密度与光滑性决定，收敛率见 heinrich_rate）+ QAE 估计误差（由 precision 决定）。

适用边界：仅一维、均匀网格、非负量化函数值；多维积分与自适应网格未实现。interval 必须为正，非正值在生成期抛 ValidationError。

验证方案

类别 C3（概率分布语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：输出分布须等于闭式期望。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_integration.py:QuantumSumTests.test_quantum_integral_trapezoid_scale 断言模块属性 algorithm == "quantum_integral"；RateTests.test_invalid_inputs_fail_at_generation 覆盖 interval = 0.0 等参数违例在生成期抛错。

  • 数值：test_quantum_integral_trapezoid_scale——\(f(x) = x\) 在 \([0,1]\) 上取 8 个中点网格（\(w = 4\)、precision = 4），读出解码后与量化均值闭式值对拍（delta = 0.06），并与积分真值 \(0.5\) 对拍（delta = 0.09）；RateTests.test_heinrich_rate_known_values 校验收敛率闭式值（\(s/d\) 系列与量子率的二次间隔）。

  • 绑定：底层加载器的三层一致性由求和侧见证覆盖（SumPreparationTests.test_qram_binding_matches_gate 与 test_abstract_loader_binds，gate / qram 绑定 flag 概率逐点对拍 places = 12），积分复用同一电路无需独立绑定见证。

已知缺口与计划阶段

无已知缺口，阶段 V1 见证已齐（积分闭式对拍 + heinrich_rate 校验 + 三层一致性复用求和侧）。按 validation-plan §5 的 V3 计划，Heinrich 积分待登记 catalog 案例并接入真实后端对拍。

相关链接

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_nt_qlss_sde.py（nt_qlss_sde 组），全部在真实后端执行；经典预言机为独立经典求和与 QAE 双峰 Dirichlet 理论分布。

实验设计：(a) 4 点中点网格实例——\(f(x)=x\) 在 \([0,1]\) 上取 4 个中点、\(w=3\)（量化均值恰为 0.5）、precision 4，在 reference、rir-pysparq、adapter-pysparq 上验证完整 phase 分布对照 QAE 理论，并以 interval=2.0 重解码同一分布验证区间缩放恒等式（区间长度不进电路，只进解码器）；(b) 8 点中点规范实例（核心测试同款，\(w=4\)、precision 4、14 位寄存器）在 rir-pysparq 上运行并对照 QAE 理论（reference 交叉由同结构 4 点例的三后端对拍覆盖）。两个实例的判据均含与积分真值 \(0.5\) 的偏差。

关键指标：

案例

规模

路径

指标

数值

quantum-integral-midpoint4

4 点、\(w=3\)、p 4

三路径

TVD vs QAE 理论 / 跨后端 TVD

8.0e-15 / 7.1e-17

同上

众数估计 vs 量化真值 0.5（分辨率界 0.2244）

0.5714（偏差 0.0714）

同上

interval=2 缩放偏差

0.0

quantum-integral-midpoint8

8 点、\(w=4\)、p 4

rir-pysparq

TVD vs QAE 理论

9.9e-15

同上

众数估计 vs 量化真值 / 积分真值 0.5

0.5333（偏差 0.0333 / 0.0333）

复现：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_nt_qlss_sde.py

产物：out/verification/nt_qlss_sde.json（quantum-integral-* 共 2 个案例）。