特征态过滤（Eigenstate Filtering）

English · 简体中文

类别 C2 · 模块 oracq.algorithms.common.qsvt · 阶段 V2

概述

特征态过滤：对矩阵 \(A\) 的块编码构造"尖峰"多项式块编码——谱变量落在过滤中心附近通带内的分量被保留（\(|f|\) 接近 1），通带外的分量被压制到 \(1/T_d(r)\) 以下。目标为 Lin–Tong 型过滤多项式（源码 docstring 引用的构造依据）：

\[ f(x) = \frac{T_d\!\bigl(g(x^2)\bigr)}{T_d(r)}, \qquad g(y) = \frac{2(y - \Delta^2)}{1 - \Delta^2} - 1, \qquad r = \frac{1 + \Delta^2}{1 - \Delta^2}, \]

其中 \(\Delta\) 为过滤宽度、\(d\) 为 Chebyshev 度数。\(f\) 在 \(x = 0\) 处饱和（\(|f(0)| = 1\)），在 \(|x| \ge \Delta\) 上 \(|f(x)| \le 1/T_d(r)\)，压制率随 \(d \cdot \operatorname{arcosh}(r)\) 指数下降。相位合成框架同 QSP 相位合成（Gilyén et al. 2019, arXiv:1806.01838）。

接口与输入模型

eigenstate_filter(a, gap, degree, *, center=0.0)

API 入口：eigenstate_filter

  • a：BlockEncoding，被过滤矩阵的块编码（input model 为 BE；谱变量 \(x = \lambda/\alpha\)，厄米情形即归一化本征值）。

  • gap：过滤宽度 \(\Delta\)，必须在 \((0, 1)\) 内。

  • degree：Chebyshev 度数 \(d\)，必须是正整数（浮点被拒绝）。

  • center：过滤中心，必须在 \((-1, 1)\) 内；非零时先平移谱（见下）。

返回 BlockEncoding，零信号块在通带外被压到 suppression 以下。模块属性：

属性

含义

algorithm

"eigenstate_filter"

be_alpha

输出 BE 的归一化（实部提取 LCU 各半，为 1.0）

gap / filter_degree / center

调用参数回显

qsp_degree

合成的多项式度数 \(2d\)

suppression

通带外上界 \(1/T_d(r)\)

实现要点

合成度数为 \(2d\)（\(f\) 是 \(x^2\) 的 \(d\) 次 Chebyshev 组合，单项式度数 \(2d\)），受合成上限 40 约束（即 \(d \le 20\)），超限抛 ValidationError。center 非零时先经 BE 线性组合 linear_combination(1.0, a, -center, identity(a.width)) 平移谱：构造 \(A - \text{center}\cdot I\) 的块编码（归一化变为 \(\alpha + |\text{center}|\)），过滤作用在平移后的谱变量 \(x' = (\lambda - \text{center})/(\alpha + |\text{center}|)\) 上，gap 以该变量计量。

\(f\) 在 \(x = 0\) 饱和但 \(|f(\pm 1)| = 1/T_d(r) < 1\) 端点未饱和，需借助虚部补全 \(h = \text{sat}\cdot x^2\)（\(\text{sat} = \sqrt{1 - f(1)^2}\)）才能合成相位；合成后经 \((U_\Phi + U_{-\Phi})/2\) 提取实部（机制见 QSP 相位合成）。适用边界：输入必须是块编码；平移后谱值应落在 \([-1, 1]\) 内，超出部分失去上界保证。

验证方案

类别 C2（近似连续语义，判定准则见 ../../development/validation-plan.md §2）：作用算子需在容差内逼近目标连续函数。三层证据：

  • 结构：tests/core/test_qsvt.py:TransformWitnessTests.test_transform_input_validation（gap 越界、度数非正整数等负例）与 PhaseSynthesisTests.test_input_validation（底层合成的输入校验）。

  • 数值：tests/core/test_qsvt.py:TransformWitnessTests.test_eigenstate_filter_isolates_eigenvalue——2×2 对角 BE（本征值 0.05 与 0.5，\(\alpha = 0.5\)），gap = 0.2、\(d = 8\)、center = 0.1：suppression < 0.08；通带本征值平移后 \(\approx -0.083\)（\(|x'| < \Delta\)），零信号幅度 > 0.7；阻带本征值平移后 \(\approx 0.667\)，幅度 < 0.1。

  • 绑定：本算法无独立绑定见证（输入已要求具体 BE）。

已知缺口与计划阶段

与验证覆盖矩阵 qsvt.py 行一致：收敛性扫描缺失（压制率随度数的指数衰减曲线未自动化，待阶段 V2 的收敛性扫描框架接入）；病态负例（度数 ≳ 16 或精度过低）的参数化测试已通过 input_validation 局部覆盖，单独的"病态输入必须抛错"批量参数化待补。

相关链接

数值验证

论文级数值实验见 tests/verification/verify_hamiltonian.py（真实后端执行，无模拟替身）。实验设计：其一，带中心平移的 1 量子位对角 BE（本征值 0.05 与 0.5，\(\alpha = 0.5\)；gap = 0.2、d = 8、center = 0.1，平移后谱变量 \(x' \approx -0.083\) 通带与 \(0.667\) 阻带）；其二，2 量子位对角 BE（本征值 0.02, −0.03, 0.4, 0.55；gap = 0.2、d = 6，两通带两阻带）。在 reference / rir-pysparq / originir-ext 三条路径上读出零信号块的对角幅度，与 Lin–Tong 过滤多项式 \(f(x) = T_d(g(x^2))/T_d(r)\) 的独立解析求值（math.cosh/acosh，不经库内辅助函数）逐点对拍。

案例

规模

后端路径

指标

数值

eigenstate-filter-centered-1q

\(2d = 16\)，center=0.1

reference、rir-pysparq、originir-ext

max_error

1.32e-7

同上

—

—

通带幅度 / 阻带幅度（suppression 属性 0.0779）

0.748 / 0.0235

eigenstate-filter-2q

\(2d = 12\)，四本征值

reference、rir-pysparq、originir-ext

max_error

2.17e-10

同上

—

—

通带最小 / 阻带最大（suppression 属性 0.174）

0.914 / 0.174

两例阻带幅度均不超过 suppression 属性上界；centered 例的 1.3e-7 偏差是 \(2d = 16\) 度逐层剥离的数值噪声，处于模块自检容差（1e-5）之内。数值边界实测：\(d = 10\)（\(2d = 20\)）被相位合成自检拒绝，\(d \le 8\) 的可合成区域全部通过。

复现命令：

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_hamiltonian.py

产物：out/verification/hamiltonian.json。