Jordan 量子梯度估计（Jordan Quantum Gradient Estimation）¶

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类别 C3 · 模块 oracq.algorithms.optimization.gradient · 阶段 V1

概述¶

估计 \(d\) 维实函数 \(f\) 在给定点处的梯度 \(\nabla f\)。实现依据 Jordan 2005（PRL 95, 050501），缩放约定与 Gilyén–Arunachalam–Wiebe 2019 的推广一致：相位 oracle 实现

\[ O\,|x\rangle = e^{2\pi i \cdot N \cdot f(x)}\,|x\rangle, \qquad N = 2^{m}, \]

其中每个坐标取 \(m\) 位定点网格（整数值 \(k\) 对应网格点 \(x = k/N\)）。\(f\) 在网格上近似线性时，单次 oracle 调用把 \(N \cdot \partial f/\partial x_i\) 写入第 \(i\) 个坐标寄存器的 Fourier 基，逐坐标逆 QFT 后一次读出全部 \(d\) 个分量；经典确定性评估同一梯度需要 \(O(d)\) 次函数查询。

接口与输入模型¶

gradient_estimation(oracle, *, dimension, grid_bits)

API 入口：gradient_estimation

oracle：PhaseOracle 或具 target 签名的相位 oracle 操作，input model 为 FO（相位 oracle）；phase_scale 属性必须等于 \(2^{\text{grid\_bits}}\)，不符时按 INPUT_PROMISE 违例抛错。
dimension：网格维数 \(d\)，范围 1..16。
grid_bits：每个坐标的位数 \(m\)，范围 1..32；总宽度 \(d \cdot m\) 不超过 64。

oracle 的三个构造入口：abstract_phase_oracle(name, width, *, phase_scale)（开放声明，实现留待 bind）、gate_phase_oracle(width, angles, *, phase_scale, name=None)（显式相位表，长度须为 \(2^{\text{width}}\)）、function_phase_oracle(source, *, dimension, grid_bits, fmt=None, scale=None, ...)（由 mathfunc 算术编译 \(f\) 后做相位踢回）。

返回 Operation，寄存器为 target（宽 \(d \cdot m\)）。读出后用 gradient_from_readout(value, *, dimension, grid_bits) 解码：第 \(i\) 个分量把位段 \([i \cdot m, (i+1) \cdot m)\) 按二进制补码解释后除以 \(2^m\)。模块属性：

属性	含义
`algorithm`	`"jordan_gradient"`
`readout_register` / `decoder`	`"target"` / `"gradient_from_readout"`
`dimension` / `grid_bits`	维数 \(d\) 与每坐标位数 \(m\)
`oracle_queries` / `classical_queries`	`1` / `O(dimension)`

实现要点¶

生成链为：全部坐标寄存器制备均匀叠加 → 单次调用相位 oracle → 对每个坐标位段施加 inverse_qft(grid_bits)。寄存器布局即单一的 target，第 \(i\) 个坐标占位段 \([i \cdot m, (i+1) \cdot m)\)；无 work 寄存器，function_phase_oracle 内部的算术工作位在相位踢回后逆调用复原。

设计决策：相位缩放约定（phase_scale == 2**grid_bits）在生成期核对而非隐式假设，oracle 宽度也必须等于 \(d \cdot m\)，两者不符均在生成期抛 ValidationError。function_phase_oracle 默认定点格式 FixedFormat(grid_bits+12, grid_bits+8)，要求带符号且 fraction ≥ grid_bits 以精确表示网格坐标。

适用边界：读出分量只在 mod 1 意义下可分辨（相位 \(e^{2\pi i N a j}\) 对 \(a\) 与 \(a \pm 1\) 相同），见证因此取 \(|\partial f/\partial x_i| < 1/2\) 的分量；大梯度需调用方预缩放 \(f\)。\(f\) 偏离线性时读出峰围绕真值展宽，失败概率随网格细化按近似二次率衰减（见验证方案）。

验证方案¶

类别 C3（概率分布语义，判定准则见 ../development/validation-plan.md §2）：输出分布须等于闭式期望。三层证据：

结构：tests/core/test_gradient.py:GradientTests.test_invalid_inputs_fail_at_generation 覆盖维度 / 位数越界、oracle 宽度不符、相位表长度不符、phase_scale 非正、读出值越界等全部入口违例。
数值：test_linear_function_exact_two_dimensions——线性函数（分量 \(3/16\)、\(-2/16\)，\(m = 4\)）读出分布确定性落在编码值上（概率 1.0，places = 12），解码精确等于梯度；test_function_phase_oracle_from_mathfunc——mathfunc 路径 \(f(x) = 0.25x\) 精确恢复分量 \(0.25\)；test_perturbed_linear_concentrates_with_grid_bits——\(f(x) = ax + x^2/N^2\)（\(a = 3/8\)）在 \(m = 3, 4, 5\) 下峰位恒为真值、正确概率单调上升，并断言失败概率衰减率 \(q_{m+1} \le 0.34 \cdot q_m\)（相位扰动 \(o(1/N)\) 下峰外泄漏近似二次收敛；实测比率 0.292 / 0.268）。
绑定：test_abstract_oracle_binds_to_gate_implementation——abstract 声明经 bind 绑定 gate 相位表后读出解码与直接构造一致，覆盖声明/实现两层一致性。

已知缺口与计划阶段¶

无已知缺口，阶段 V1 见证已齐（线性精确读出 + mathfunc 路径 + 失败概率衰减率断言 \(q_{m+1} \le 0.34 \cdot q_m\)，实测 0.292 / 0.268 + 绑定一致性）。

数值验证¶

tests/verification/verify_estimation.py 在真实后端上对本接口做读出级数值验证（共 11 个案例，全部通过）。实验设计：

线性函数精确读出：gate_phase_oracle 相位表，\(d=1\)（\(m=3,4,5\)，梯度分量 \(3/8\)、\(-5/16\)、\(9/32\)）、\(d=2\)（\(m=4\)）、\(d=3\)（\(m=3\)）；读出分布应确定性落在编码值上。
mathfunc 相位 oracle：function_phase_oracle 编译 \(f(x)=0.25x\)（\(d=1,m=4\)）与 \(f(x_0,x_1)=0.25x_0-0.125x_1\)（\(d=2,m=3\)），同时对照中心有限差分（线性函数时与真值完全一致，差距 \(0\)）。该路径工作区按 workspace_table 预算为 \(1768\) / \(1638\) 量子位，超出 OriginIR 24 位预算，只走 reference / rir-pysparq / adapter-pysparq 三条寄存器级路径。
扰动线性收敛：\(f(x)=ax+x^2/N^2\)（\(a=3/8\)），\(m=3,4,5\)；峰位恒为真值，失败概率衰减率对照近似二次收敛判据；信息性指标给出 \(x=1/2\) 处中心有限差分（\(f\) 非线性时与线性系数差 \(O(1/N^2)\)）。
后端路径：reference、rir-pysparq、adapter-pysparq、originir-ext（gate 相位表案例，总宽 \(\le 9\) 量子位）。

案例	规模	路径	指标值
线性读出（gate 表）	\(d=1\)，\(m=3,4,5\)	全部四条	解码误差 \(=0\)，峰概率 \(=1\)
线性读出（gate 表）	\(d=2\)，\(m=4\)；\(d=3\)，\(m=3\)	全部四条	解码误差 \(=0\)，峰概率 \(=1\)
mathfunc oracle	\(d=1,m=4\)；\(d=2,m=3\)	ref/rir/adp	解码误差 \(=0\)，峰概率 \(=1\)，与有限差分一致
扰动收敛	\(d=1\)，\(m=3,4,5\)	全部四条	成功概率 \(0.9588/0.9880/0.9968\)，衰减率 \(0.2922/0.2678\)（\(<0.34\)）；有限差分 \(0.3906/0.3789/0.3760\to 0.375\)

复现命令：

PYTHONPATH=src /home/agony/projects/qcfd-dev/quantum-cfd-software/.venv/bin/python tests/verification/verify_estimation.py

产物路径：out/verification/estimation.json（案例名前缀 jordan-）。