一般量子同伦分析（General QHAM）

English · 简体中文

类别 C6 · 模块 oracq.applications.qham · 阶段 V1

概述

QHAM 把有限多项式演化 PDE 变成量子可解的线性系统。输入是自治的一阶时间演化系统

\[ u' = f + Lu + \sum_r B_r(u,\dots,u), \qquad u(0)=u_{in}, \]

允许任意有限分量、有限空间维、未知场及其空间导数的有限多项式、已知系数/强迫及其导数、以及完整单项式上的外层导数。生成器按 HAM（同伦分析）截断阶 m 递推出各阶 \(U_i\)，再对截断后的 HAM 系统做量子适配线性化（QCL），得到提升空间上的 \(Y'=GY\)，交给任意 QODE 求解器；输出选取物理块 \(u_{sum}=\sum_i U_i\)。构造对照 QHAM 论文（arXiv:2411.06759），数学规则见推导参考。

张量字 \(Y_{(a_0,\dots,a_{k-1})}\) 的有限闭包取 \(\mathrm{grade}\cdot\sum a_j + \mathrm{rank} \le \mathrm{grade}\cdot m + 1\)（grade = max(1, D−1)，D 为 PDE 最高多项式次数），非线性替换使 HAM 阶数和严格下降；闭包精确表示截断后的 HAM 系统，不再做一次 Carleman 式高阶截断。

接口与输入模型

入口分四段（from oracq.applications.qham import ...）：

PolynomialPDE.from_equations(equations, *, axes=("x",), label="polynomial_pde")   # Field/Known 表达式
QHAMPlan(pde, order)                                    # 惰性闭包：blocks / row_terms / offset / locate
Discretization(pde, Grid(axes, shape, spacing), known)  # 空间离散与经典参考
qham_input_model(plan, bindings, *, eta=-1.0, max_blocks=256, max_terms=4096)

API 入口：QHAMPlan、Discretization、qham_input_model

  • PDE 用 Field/Known 表达式代数构造（加减乘、非负整幂、d(axis, order) 导数；未知场分母与非整幂抛 ValidationError），dumps/loads 与 JSON Schema 往返。

  • bindings 由 gate_bindings(discretization, initial)（小规模物化端口做对照，单端口 target ≤ 5 位）或 structured_fd_bindings(discretization, initial)（移位 + 分量选择 + 同点收缩，不物化 \(N^r\times N^r\) 的端口矩阵）构造；也可用 QHAMBindings.declare(plan, state_width, port_specs, *, initial_norm, ...) 声明开放端口。

  • input model 为 ODE（生成元 + 初态 + 物理输出窗口）：生成元以 BE 承载、初值以 SP 承载，开放槽位经 bind 晚绑定。

qham_input_model 返回 QHAMInputModel：

成员

含义

generator / initial

提升生成元的 BE 与提升初态制备

state_width / eta

物理态位宽 / 同伦参数

log_initial_norm

初始范数的对数（生成期用缩放权重避免直接对大幂求和）

solve(qode, time)

调用 QODE 协议并选取物理块，返回 StateOracle

dissipative_shift(shift=None)

显式整体移位 G − μI（μ ≥ α_G），适配 LCHS/CBMD，累计 growth_shift

另有 open_qham_input(plan, bindings, *, generator_alpha, generator_signal, eta=-1.0, name="QhamGenerator")：整个生成元保留为未解析的抽象 BE（不给它伪造空主体），初态仍结构化生成；taylor_qode(generator, initial, time, *, degree=2) 提供不要求 Hermitian/耗散前提的有限 Taylor 候选，用于打通门级执行与对照。生成元模块属性含 algorithm="qham_generated_qcl"、ham_order、pde_degree、tensor_rank_limit、raw_dimension、explicit_couplings、qham_plan 与 correctness="linearization_witnessed; solver pending"。

实现要点

生成链为 PDE → HAM 递推（修正项权重 \(-\eta(1+\eta)^{p}\)、物理项权重 \(1-(1+\eta)^{p}\)）→ 有序张量字闭包 → 矩形端口放置与嵌入 → LCU 组合成 G。每个端口按多线性映射解释（L: V→V，B_τ: V 的 r 重张量积→V，F: 常量→V，端口系数已含 PDE 的符号与常数）：place_port 把端口放在指定张量位置并置换其余坐标，embed_rectangular 同时约束输入/输出两个窗口，避免矩形零填充污染相邻块。QHAMPlan 是惰性对象——二次无强迫、m = 20 时可描述 \(2^{21}\) 个函数块而不物化，row_terms/offset/locate 可单独查询；显式生成超过 max_blocks/max_terms 预算时抛错，计划本身仍有效。

提升初态保留各张量字的相对范数 \(r, r, r^2, \dots, r^K\)（r = ‖u_in‖，有强迫再加 one 分支）：按缩放权重制备分支标签，对相应目标区间多次调用可重复的初值 oracle（不是克隆未知量子态），再从地址区间经布尔网络反算标签；每次对已知零输入的制备都复净 work，同一段工作寄存器顺序复用。u_in = 0 且有强迫时初态只剩 one 分量；无强迫的零初值对应零解，应在经典侧直接返回。

适用边界：单个 BE 的 target 包装受 64 位限制（plan.max_rank * n > 64 报错，惰性 plan 与逐行算法不受此限）；correctness="linearization_witnessed; solver pending" 表明已见证的是线性化代数，HAM/PDE 收敛认证与 QODE 求解精度属于求解器一侧；自动选择收敛的 h/m、时间依赖绑定与 IQHAM 外层重启未实现（完整边界见用户指南第 9 节）。

验证方案

类别 C6（组合骨架，判定准则见 ../../development/validation-plan.md §2：组件契约满足 + 端到端小实例语义正确 + bind 不变）。三层证据位于 tests/core/test_qham_general.py:QhamGeneralTests：

  • 结构：类的构造与属性断言；test_rules_roundtrip_and_unsupported_nonlinearity（PDE JSON 往返相等、1/u 与 u**0.5 拒绝）。

  • 数值：test_lazy_closure_and_rank_unrank——度 2–4 × 阶 0–3 的闭包自洽（非线性替换使阶数和严格下降、offset/locate 互逆）；\(2^{21}\) 块计划的序列化 < 3000 字符；显式块数超预算报错。test_quadratic_dimension_and_nontrivial_eta_weight——u′ = u² 时 block_count = 2^(m+1)、raw_dimension(4) = 5^(m+1)+3；η = −0.4 的同伦权重 0.24 / 0.4 / 0.4。test_multidimensional_coupled_identity——二维耦合 PDE 上 G·lift 与独立链式法则求值的残差 < 1e-10。test_m1_reduces_to_previous_special_case——m = 1 无强迫的生成元与旧特例 qham_lift_m1 的 BE 逐列对拍（16×16 幅度乘 α，places = 10）。另有 test_chain_rule_identity_general_cases（5 组 PDE 家族 × η ∈ {−1, −0.4, 0.2}，同一残差界）、test_lazy_stencil_rows_match_explicit_linearization（惰性行规则与显式矩阵 places = 11）、test_structured_initial_preserves_relative_tensor_norms、test_rectangular_forcing_and_contraction_do_not_spill、test_dissipative_adaptation_is_explicit、test_zero_initial_forcing_and_reused_work 补充初值、矩形嵌入、移位与工作区复用细节。

  • 绑定：test_open_qode_inputs_keep_operator_and_initial_oracles——QHAMBindings.declare 声明的开放端口（Qham_L、Qham_B_*、Qham_initial）在 model.solve 之后保持未解析，经 bind 换成 gate 实现后无未解析槽且 IR 序列化往返不变；open_qham_input 保留的槽位恰为 {QhamGenerator, Qham_initial}。

已知缺口与计划阶段

与 validation-coverage.md 的应用层 qfvm.py/qham/ 行一致：无登记缺口，阶段 V1。求解精度与收敛认证按 correctness 属性标注为 pending，属 QODE 求解器一侧的实现边界，不在本模块缺口列。

数值验证

2026-09-16 由 tests/verification/verify_qham_qfvm.py 执行的论文级数值验证（真实后端：PySparQ 原生 RIR 解释器、oracq 内置参考执行器、PySparQ 事件适配器、UniQC 全振幅态向量；无 mock、无 skip）。

实验设计

  • 生成元全矩阵对拍：用 aux 寄存器叠加（Σ|c⟩|c⟩）一次运行取出 BE 的完整 signal-0 矩阵块，逐元素对照 applications/qham/reference.py 的独立经典矩阵，并核对支撑集合恰好、填充子空间无泄漏。实例 u′=−0.2u+0.1u²（order 2、grid 2、raw 维 28、η=−0.4），结构化移位端口与谱嵌入 Pauli 端口各一遍；另一实例 u′=0.5·ν(x)·uₓ−0.2u（order 1、grid 4）比较 stencil / spectral / QRAM 角表三种输入模型。

  • 同伦步与收缩映射：同伦权重对照显式公式；生成行规则（linear_action）对照独立 HAM 递推+张量链式法则（chain_rule，含强迫 Burgers）；HAM 部分和对 Riccati 方程解析解（Bernoulli 闭式）做 m=1..6 收敛实验，测得收缩因子对照理论值 |1+η|。

  • 初态与求解链：提升初态制备逐振幅对照张量字权重直接构造（71 qubits 超 UniQC 24 预算，仅 pysparq 路径）；taylor_qode 端到端链对照经典 (I+tG)Y_in，两种输入模型互拍；显式耗散移位 G−μI 在完整 2ʷ 空间（含填充子空间 −μ 对角）做全矩阵验证；algorithms/pde.py 的 make_qpde / qpde_solver 以四环 Laplacian 做数值直通。

关键指标

案例

规模

后端路径

指标值

生成元全矩阵（stencil 端口）

28×28，α=2.968

rir-pysparq

max_error 1.46e-17，支撑恰好

生成元全矩阵（spectral 端口）

28×28，α=3.336

rir-pysparq

max_error 7.96e-18

生成元四路径交叉

14 qubits

reference / rir / adapter / originir-ext

两两偏差 8.67e-18

输入模型一致性

28×28

rir-pysparq(+QRAM)

stencil 1.40e-17，spectral 6.97e-18，QRAM 5.99e-05（角量化界 9.20e-03）

QRAM 系数角编码逐点

4 地址，α=0.75

rir-pysparq + originir-ext

振幅误差 2.15e-03（界 6.14e-03），跨路径 0.0

提升初态

raw 28，71 qubits

rir-pysparq

max_error 1.11e-16，log 范数 −1.2525710053499335 一致，work 复净

Taylor QODE 端到端

t=0.01，degree 1

rir-pysparq

两模型误差各 1.11e-16，互拍 8.87e-25

耗散移位全矩阵

32×32，μ=2.968

rir-pysparq

max_error 5.70e-17

同伦权重/行规则

2 PDE × η∈{−1,−0.4,0.2}

经典独立

权重精确，行规则 vs 链式法则 1.39e-17

HAM 收缩收敛

t=0.5，m=1..6

经典独立（RK4 vs 解析解）

η=−0.4 平均收缩因子 0.604（理论 0.6）；η=−0.8 得 0.208（理论 0.2）

pde.py wrapper 直通

四环，t=0.05

rir-pysparq

max_error 2.11e-18

复现

PYTHONPATH=src <含 pysparq+uniqc 的解释器> tests/verification/verify_qham_qfvm.py

产物：out/verification/qham_qfvm.json（15 个案例的全部指标与判据）。

相关链接